填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
甲、乙、丙、丁四名同学可选择足球课、篮球课、排球课，每个人必须选一门且只能选一门，那么每门课都有人选择的不同情形有 ________ 种（用数学作答）。
已知函数 $f(x)=x+\frac{a}{x}+b(x \neq 0)$ ，其中 $a, b \in \mathbb{R}$ ．若对任意的 $a \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ ，不等式 $f(x) \leqslant 10$在 $x \in\left[\frac{1}{4}, 1\right]$ 上恒成立，则 $b$ 的取值范围为 ________ ．
从分别标有数字 $2024$，$2025$，$2026$ 的三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回，再随机抽取一张，记下数字后放回，以此类推，抽取 $n$ 次后，记下的 $n$ 个数字之和为奇数的概率为 ________ ．
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知不等式 $a x^{2}-3 x+b < 0$ 的解集为 $\{x \mid 1 < x < 2\}$ ．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）若不等式 $m x^{2}+m x+3 a \geqslant 0$ 对于 $x \in \mathbb{R}$ 均成立，求实数 $m$ 取值范围．
高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为 $1,2, \ldots, 7$ ，用 $X$ 表示小球最后落入格子的号码。
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性＂抽奖＂活动．若 $2$ 元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入 $X$ 号格子得到的奖金为 $Y$ 元，其中 $Y=\left\{\begin{array}{l}10, X=1 \text { 或 } 7 \\ 5, X=2 \text { 或 } 6 \\ 1, X=3 \text { 或 } 5 \\ 0, X=4\end{array}\right.$, 你觉得小州同学能盈利吗？