函数 李万宝 2025/08/09 函数系列 28 次查看 ## 映射 在集合论中，**映射（Mapping）** 描述了两个集合之间的关系，如果这两个集合是同一个，那么映射也称作**变换(Transformation)** >映射强调的是**静态规则**，主要表达集合之间的关系，而变换强调的是**动态规则**，描述对对象的操作或修改。 比如 每个学生对应一个学号称作映射，而将图像旋转90度则称作变换。不过，在更高级别的教程里，通常不会太严格区分两者的区别。 设两个非空集合 $A$ 和 $B$ ，若存在一个对应关系 $f$ ，使得对每个 $A$ 中的元素 $x \in A$ ，在 $B$ 中都有唯一一个元素 $y \in B$ 和它对应，我们称 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的一个映射，记作 $$ \begin{aligned} f: A & \rightarrow B \x & \mapsto y=f(x) \end{aligned} $$ 第一个式子表示该映射 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的，第二个表明了 $f$ 的对应关系。 - 上式$y=f(x)$中，$y$ 称为 $x$ 对应的**像** (image)， $x$ 称为 $y$ 的**原像** (inverse image)； - $A$ 称为 $f$ 的**定义域** (domain of $\mathrm{f}$ ) 或原像集，也记作 $D(f)$; - $B$ 称作 $f$ 的**值域**(Range)，记作 $R(f)$ ； - $f(A)=\{y \mid y=f(x), x \in A\}$ 称为 $A$ 在 $f$ 下的**像集** (image set)，也记作 $\operatorname{Im} f$ ； - 给定一 $y \in B$ ，符合等式 $y=f(x)$ 的所有 $x \in A$ 称作 $y$ 在 $f$ 下的**完全原像**，记作 $f^{-1}(y)$, 读作："**f逆y**" 。 一般来说，像集和值域并不相等， $f(A) \subseteq B$ ，如果 $f$ 是满射时那这两者是相等的。某个特定的 $y \in B$ 的完全原像 可能并不是唯一的，甚至可能没有。 我们说两个映射 $f: A \rightarrow B, g: A \rightarrow B$ 是相等的，是指 $\forall x \in A, f(x)=g(x)$. 将集合 $A$ 中的元素映作自身的变换称作恒等变换 (映射)，记作 $i, i_A$. ### 延伸阅读 不动点理论 > 想象一下你站在镜子旁，镜子里出现你的影像，此时“现实中的你”和“镜子中的你”就是一个镜像。记 $A$={现实中的你}，$B$={镜子中的你}，对应法则是 $f$=镜子。 那么，你身上的每一点都对应镜子中的每一点。 试着把镜子倾斜或者干脆换一个哈哈镜，镜子里你的像将跟着变换，甚至有可能你自己都认不出自己。 考虑下面三张照片，其中左右两种是中间那张照片变形得到的。不动点理论认为，在从$A \to B, B \to C, A \to C$ 的三组映射里，一定能找到一个点，这个点在映射中保持不变，这就是不动点理论。当然他的证明比较复杂，同时也有多个版本的定义。  想象你拿一张纸，揉成一团后塞进杯子里。纸上至少有一个点还在它最初的位置（尽管纸被扭曲了）。这个点就是“不动点”。 （对应**布劳威尔定理**：连续变形下必有不动点） 递归函数如果没有终止条件（比如 $f(x)=f(x) 1$ ，就是因为它找不到不动点，导致无限循环。 ## 单射与满射 > 数学中有2个常用符号 $\forall$ 表示**任意**，$\exists$ 表示**存在** **单射** 若 $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 \neq x_2$ 均有 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$ ，则称 $f$ 是一个单射 (injection) 或 $1-1$ 的映射。 提示：若 $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 \neq x_2$ 均有 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$” 表示的意思是：对于A里**任意**的$x_1,x_2$，如果$x_1$不等于$x_2$，那么 $y_1$ 不等于 $y_2$ 上述定义等价于: $\forall y \in B,\left|f^{-1}(y)\right| \leqslant 1$. 该式中 $f^{-1}(y)$ 是一个集合， $\left|f^{-1}(y)\right|$ 为该集合的元素，这表明对任意的 $y \in B$ 的完全原像的元素数量不多于一个。 {width=300px} **满射** 若 $\forall y \in B, \exists x \in A$ ，使得 $y=f(x)$ ，则称 $f$ 是一个满射 (surjection) 或到上的映射。 提示：“若 $\forall y \in B, \exists x \in A$ ，使得 $y=f(x)$” 表示的意思是，对于$B$里的任意一个元素$y$，都**存在**可以在$A$里找到一个$x$，使得$y=f(x)$ 上述定义等价于 $f(A)=B$. 也等价于 $\forall y \in B,\left|f^{-1}(b)\right| \leqslant 1$. {width=300px} **双射** 若 $f$ 既是单射又是满射，就称 $f$ 是一个双射 (bijection)，或一一对应。 {width=300px} ## 映射的复合 设 $f: A \rightarrow B, g: b \rightarrow C$ ，那么以下这个新映射 $$ \begin{aligned} h: A & \rightarrow C \x & \mapsto z=g(f(x)) \end{aligned} $$ 就称作 $f$ 和 $g$ 的复合，记作 $h=g \circ f$ 。 该运算满足结合律，即 $h \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ f$ ，但是一般不满足交换律，即一般 $f \circ g \neq g \circ f$. 假设同上，若 $h$ 是一单射，则 $f$ 也是一单射；若 $h$ 是一满射，则 $g$ 也是一满射。 显然恒等映射 $i$ 和任意映射 $f: A \rightarrow B$ 可交换 $f \circ i_A=i_B \circ f$. 这种交换是不指定恒等映射的种类下的。 ## 变换 如果映射 $f: A \rightarrow A$ ，那么映射 $f$ 也称作 $A$ 上的**变换**。 当 $A=\left\{x_1, x_2, \cdots\right\}$ 的元素有限（至多可列个）时，可以用下列数表来表示该映射的值 $$ f=\left(\begin{array}{ccccc} x_1 & x_2 & \cdots & x_n & \cdots \f\left(x_1\right) & f\left(x_2\right) & \cdots & f\left(x_n\right) & \cdots \end{array}\right) $$ 例如，对于一个自然数集的子集 $A=\{1,2, \cdots, n\}$ 的一个 $n$ 级排列 $i_1 i_2 \cdots i_n$ （它是由 $f: A \rightarrow A$ 定义的一个双 射) 可以表示为 $$ f=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n \i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{array}\right) $$ 这样的一个变换称为一个 $\boldsymbol{n}$ 次**置换** (permutation of degree $\mathrm{n}$ )。