利用几何性质研究抛物线问题举例

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所属分类:圆锥曲线

题目:直线$l$过抛物线$C:y^2=4x$的焦点,且和抛物线相交于点$M,N$两点,在直线$x+1=0$上存在一点$P$使得$\triangle {PMN}$是正三角形,则$\triangle {PMN}$的边长为________。

分析:此题给人的第一印象是采用直线和抛物线相交联立方程求解,解法如下:

解:设直线$l$的方程为$x=my+1$,联立抛物线的方程$$\begin {cases}y^2=4x\\x=my+1\end {cases}$$消去$x$可得:$$y^2-4my-4=0.$$

$y_1+y_2=4m,y_1y_2=-4,x_1+x_2=4m^2+2.$

$MN=x_1+x_2+p=4m^2+4.$

设$MN$的中点为$C$,则$C$的坐标为$(2m^2+1,2m)$,故$MN$的中垂线的方程为:$$y-2m=-m(x-2m^2-1).$$

令$x=-1$可得$P(-1,2m^3+4m).$

$\therefore \sqrt 3(2m^2+2)=\dfrac {|-2-2m^4-4m^2|}{\sqrt {m^2+1}}.$

解得:$m^2=2.$

因此:$MN=x_1+x_2+p=4m^2+4=12.$

对于抛物线的很多问题,还可以采用其中的一些几何性质,再结合抛物线的定义往往可以化繁为简,起到秒杀的效果。

解法二:由上图,很容易证明$\angle {CPN'}$即为直线$l$的倾斜角,设$MC=CN=CC'=m$,则$\sin\angle {CPN'}=\dfrac {CC'}{PC}=\dfrac {m}{\sqrt 3m}=\dfrac {\sqrt 3}{3}.$

故$MN=\dfrac {2p}{\sin^2\theta}=12.$

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