充分条件与必要条件

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充分条件与必要条件

(1)若$p \Rightarrow q$且$q\nRightarrow p$,则$p$是$q$的充分非必要条件.

(2)若$q \Rightarrow p$且$p\nRightarrow q$,则$p$是$q$的必要非充分条件.

(3)若$p\Leftrightarrow q$,则$p$是$q$的充要条件.

(4)若$p\nRightarrow q$且$q\nRightarrow p$,则$p$是$q$的非充分非必要条件.

【例题1】(1)判断下列各题中,$p$是$q$的什么条件?

①$p$:$a>b$,$q$:$a>b-1$;         ②$p$:$a>b$,$q$:$\lg a>\lg b$;

③$p$:$a>b$,$q$:$2^a>2^b$;              ④$p$:$a>b$,$q$:$a^2>b^2$.

【解析】 ①$p\Rightarrow $q,$p\nLeftarrow q$,∴$p$是$q$的充分不必要条件.

②$q\Rightarrow p$,$p\nRightarrow q$,∴$p$是$q$的必要不充分条件.

③$p\Rightarrow q$,且$q\Rightarrow p$,∴$p$是$q$的充要条件.

④ $p\nRightarrow q$,$q\nRightarrow p$,∴$p$是$q$的既不充分也不必要条件.

【答案】 ①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条件 ④既不充分也不必要条件

【练习】判断下列各题中$p$是$q$的什么条件?

①在$\triangle ABC$中,$p$:$A>B$,$q$:$BC>AC$;

②$p$:$x>1$,$q$:$x^2>1$;

③$p$:$(a-2)(a-3)=0$,$q$:$a=3$;

④ $p$:$a<b$,$q$:$\dfrac ab<1$.

【解析】 ①由三角形中大角对大边可知,若$A>B$,则$BC>AC$;反之,若$BC>AC$,则$A>B$.因此,$p$是$q$的充要条件.

②由$x>1$可以推出$x^2>1$;由$x^2>1$得$x<-1$或$x>1$,不一定有$x>1$.因此$p$是$q$的充分不必要条件.

③由$ (a-2)(a-3)=0$可以推出$a=2$或$a=3$,不一定有$a=3$;由$a=3$可以得出$ (a-2)(a-3)=0$.因此$p$是$q$的必要不充分条件.

④由于$a<b$,当$b<0$时,$\dfrac ab>1$;当$b>0$时,$\dfrac ab <1$,故若$a<b$,不一定有$\dfrac ab <1$;当$b>0$,$\dfrac ab <1$时,可以推出$a<b$;当$b<0$,$\dfrac ab <1$时,可以推出$a>b$.因此$p$是$q$的既不充分也不必要条件.

【答案】 ①$p$是$q$的充要条件 ②$p$是$q$的充分不必要条件 ③$p$是$q$的必要不充分条件 ④$p$是$q$的既不充分也不必要条件

判断充分必要条件的步骤

(1)弄清条件$p$和结论$q$分别是什么?

(2)尝试$p\Rightarrow q$,$q\Rightarrow p$.

(3)充要条件可以融入到数学各个分支,题型灵活多变,但万变不离其宗,只要紧扣定义,结合其他知识,便可迎刃而解.

【例题2】 (1)(2016·天津)设$x>0$,$y\in\mathbb R$,则“$x>y$”是“$x>|y|$”的(  )

A.充要条件          B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件         D.既不充分也不必要条件

【解析】 由$x>y$推不出$x>|y|$,由$x>|y|$能推出$x>y$,所以“$x>y$”是“$x>|y|$”的必要而不充分条件.

【答案】 $C$

(2)(高考真题·陕西卷)“$\sinα=\cosα$”是“$\cos2α=0$”的(  )

A.充分不必要条件         B.必要不充分条件

C.充要条件                   D.既不充分也不必要条件

【解析】 由$\cos2α=\cos^2α-\sin^2α$知,当$\sinα=\cosα$时,有$\cos2α=0$,反之,由$\cos^2α=\sin^2α$不一定有$\sinα=\cosα$,从而“$\sinα=\cosα$”是“$\cos2α=0$”的充分不必要条件.故选$A. $

【答案】 $A$

(3)若集合$A=\{x|x^2-5x+4<0\}$,$B=\{x||x-a|<1\}$,则“$a\in(2,3) $”是“$B\subset A$”的(  )

A.充分不必要条件                     B.必要不充分条件

C.充要条件                               D.既不充分也不必要条件

【解析】 $A=\{x|1<x<4\}$,$B=\{x|a-1<x<a+1\}$. ∵$B\subseteq A$,∴$\begin{cases}a-1\ge 1\\a+1\le 4\end{cases}$即$2\le a\le 3$. ∵$ (2,3)\subseteq [2,3] $,∴“$a\in(2,3) $”是“$B\subseteq A$”的充分不必要条件.

【答案】 $A$

【例题3】 已知命题$p$:$\begin{cases}x+2\ge1\\x-10\le 4\end{cases}$命题$q$:$1-m\le x\le 1+m$,$m>0$,若$\neg p$是$\neg q$的必要而不充分条件,求实数$m$的取值范围.

【解析】 $p$:$x\in[-2,10] $,$q$:$x\in[1-m,1+m] $,$m>0$.

∵$\neg p$是$\neg q$的必要而不充分条件,因此$q$是$p$的必要而不充分条件即$p\Rightarrow q$且$q\nRightarrow p$.

∴$[-2,10]\subsetneqq [1-m,1+m]$,即$\begin{cases}m>0\\1-m\le -2\\1+m\ge 10\end{cases}$

解得:$m\ge 9$

∴实数$m$的取值范围是$[9,+∞).$

【答案】 $[9,+∞)$

(1)本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键.

(2) $\neg p$是$\neg q$的必要非充分条件等价于$p$是$q$的充分而非必要条件.

【练习】 (1)已知$p$:$4x+m<0$,$q$:$x^2-x-2>0$,若$p$是$q$的一个充分不必要条件,求$m$的取值范围.

【解析】 ∵$4x+m<0$,∴$x<-\dfrac m 4$,

∴$p$:$x<-\dfrac m 4$. ∵$x^2-x-2>0$,

∴$x<-1$或$x>2$.

∴$q$:$x<-1$或$x>2$.

∵$p\Rightarrow q$,∴$-\dfrac m 4\le-1$,

∴$m≥4$.

即$m$的取值范围是$ [4,+∞) $.

(2)已知$p$:$\dfrac 12\le x\le 1$,$q$:$ (x-a)(x-a-1)>0$,若$p$是$\neg q$的充分不必要条件,则实数$a$的取值范围是________.

【解析】 $\neg q$:$ (x-a)(x-a-1)\le0$,∴$a\le x\le a+1$.
由$p$是$\neg q$的充分不必要条件知:$\begin{cases}a\le \dfrac 12 \\ a+1\ge 1 \end{cases}$

∴$0\le a\le \dfrac 12$.

【答案】 $ [0,\dfrac 12] $

充分、必要条件的判定方法.

(1)定义法.

(2)集合法:若$p$以集合$A$的形式出现,$q$以集合$B$的形式出现,即$A=\{x|p(x)\} $,$B=\{x|q(x)\} $,则

①若$A\subseteq B$,则$p$是$q$的充分条件;

②若$B\subseteq A$,则$p$是$q$的必要条件;

③若$A=B$,则$p$是$q$的充要条件.

(3)等价命题法:利用原命题和逆否命题是等价的这个结论,有时可以准确快捷地得出结果,是反证法的理论基础.

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