命题与四种命题

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所属分类:常用逻辑用语

一、命题

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.

二、四种命题及其关系

(1)原命题为“若$p$则$q$”,则它的逆命题为“若$q$则$p$”;否命题为“若$\neg p$则$\neg q$”;逆否命题为“若$\neg q$则$\neg p$”.

(2)原命题与它的逆否命题的真假相同;逆命题与它的否命题的真假相同.

例题1:命题“若$a<0$,则一元二次方程$x^2+x+a=0$有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________.

解析 当$a<0$时,$\Delta =1-4a>0$,所以方程$x^2+x+a=0$有实数根,故原命题为真;根据原命题与逆否命题真假一致,可知其逆否命题为真;逆命题为:“若方程$x^2+x+a=0$有实根,则$a<0$”,因为方程有实根,所以判别式$\Delta =1-4a\ge 0$,所以$a≤\dfrac 14$,显然$a<0$不一定成立,故逆命题为假;根据否命题与逆命题真假一致,可知否命题为假.故正确的命题有$2$个.

例题2:写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题,并判断它们的真假.

(1)末位数字是$0$的整数是$5$的整数倍;

(2)在$\triangle ABC$中,若$AB>AC$,则$\angle C>\angle B$;

(3)若$x^2-2x-3>0$,则$x<-1$或$x>3$;

(4)若$x^2+y^2=0$,则实数$x$,$y$全为零.

【解析】 (1)原命题:若一个整数的末位数字是$0$,则它是$5$的整数倍.

逆命题:若一个整数是$5$的整数倍,则它的末位数字是$0$.

否命题:若一个整数的末位数字不是$0$,则它不是$5$的整数倍.

逆否命题:若一个整数不是$5$的整数倍,则它的末位数字不是$0$.

(2)逆命题:在$\triangle ABC$中,若$\angle C>\angle B$,则$AB>AC$.

否命题:在$\triangle ABC$中,若$AB\le AC$,则$\angle C\le \angle B$.

逆否命题:在$\triangle ABC$中,若$\angle C\le \angle B$,则$AB\le AC$.

这里,四种命题都是真命题.

(3)逆命题:若$x<-1$或$x>3$,则$x^2-2x-3>0$.

否命题:若$x^2-2x-3≤0$,则$-1≤x≤3$.

逆否命题:若$-1≤x≤3$,则$x^2-2x-3≤0$.

这里,四种命题都是真命题.

(4)逆命题:若实数$x$,$y$全为零,则$x^2+y^2=0$.

否命题:若$x^2+y^2≠0$,则实数$x$,$y$不全为零.

逆否命题:若实数$x$,$y$不全为零,则$x^2+y^2≠0$.

这里,四种命题都是真命题.

写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题,关键是找出原命题的条件$p$与结论$q$,将原命题写成“若$p$,则$q$”的形式.在本例(2)中,原命题有大前提“在$\triangle ABC$中”,在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时,应当保留这个大前提.本例(3)中“$x<-1$或$x>3$”的否定形式是“$x\ge -1$且$x≤3$”,即“$-1≤x≤3$”.

思考题1 以下命题:

① “若$f(x) $是奇函数,则$f(-x) $也是奇函数”的逆命题;

② “若$x$,$y$是偶数,则$x+y$也是偶数”的否命题;

③ “正三角形的三个内角均为$60^°$”的否命题;

④ “若$a+b+c=3$,则$a^2+b^2+c^2\ge 3$”的逆否命题.

其中真命题的序号是________.

【解析】 对于④,只需证明原命题为真,由于$$a+b+c=3$$因此$$ (a+b+c)^2=9.$$
所以$$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=9$$从而$$3(a^2+b^2+c^2)\ge 9$$所以$a^2+b^2+c^2\ge 3$成立.

【答案】 ①③④

命题真假的判断.

(1)对于一些简单命题,若判断其为真命题需推理证明.若判断其为假命题只需举出一个反例.

(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表.

(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性,判断其逆否命题的真假.

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