直线的参数方程的几何意义

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知识要点概述

过定点${M_0}({x_0},{y_0})$、倾斜角为$\alpha $的直线$l$的参数方程为$ \begin{cases}x = {x_0} + t\cos \alpha \\y = {y_0} + t\sin \alpha \end{cases}.$($t$为参数),其中$t$表示直线$l$上以定点${M_0}$为起点,任意一点$M(x,y)$为终点的有向线段$\overrightarrow {{M_0}M} $的数量,$|t|$的几何意义是直线上点到$M$的距离.此时,若$t>0$,则$\overrightarrow {{M_0}M} $的方向向上;若$t<0$,则$\overrightarrow {{M_0}M} $的方向向下;若$t=0,$则点$M_0$与点$M$重合.

由此,易得参数$t$具有如下 的性质:

若直线$l$上两点$A$、$B$所对应的参数分别为${t_A},{t_B}$,则

性质一:$A$、$B$两点之间的距离为$|AB| = |{t_A} - {t_B}|$,特别地,$A$、$B$两点到${M_0}$的距离分别为$|{t_A}|,|{t_B}|.$

性质二:$A$、$B$两点的中点所对应的参数为$\dfrac{{{t_A} + {t_B}}}{2}$,若${M_0}$是线段$AB$的中点,则${t_A} + {t_B} = 0$,反之亦然。

精编例题讲练

一、求直线上点的坐标

例1.一个小虫从$P(1,2)$出发,已知它在$ x$轴方向的分速度是$−3$,在$y$轴方向的分速度是$4$,问小虫$3s$后的位置$Q$。

分析:考虑$t$的实际意义,可用直线的参数方程$ \begin{cases}x = {x_0} + at \\y = {y_0} +b t \end{cases}.$ ($t$是参数)。

解:由题意知则直线$PQ$的方程是$ \begin{cases}x = 1-3t \\y = 2+4 t\end{cases}$,其中时间$t $是参数,将$t=3s$代入得$Q(−8,12)$。

例2.求点$A(−1,−2)$关于直线$l:2x −3y +1 =0$的对称点$A' $的坐标。

解:由条件,设直线$AA' $的参数方程为$ \begin{cases}x =- 1-\dfrac {2}{\sqrt{13}}t \\y = -2+\dfrac {3}{\sqrt{13}} t\end{cases}$ ($t$是参数),

∵$A$到直线$l$的距离$d =\dfrac {5}{\sqrt{13}}$, ∴ $t = AA' = \dfrac {10}{\sqrt{13}}$,

代入直线的参数方程得$A' (−\dfrac {33}{13},\dfrac {4}{13})$。

点评:求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线,求出交点,再用中点公式,而此处则是充分利用了参数 $t$ 的几何意义。

二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离

例1.设直线$l$经过点$M_0(1,5)$,倾斜角为$\dfrac {\pi}{3}$,

1)求直线$l$和直线$x-y-2\sqrt 3=0$的交点到点$M_0$的距离;

2)求直线$l$和圆$x^2+y^2=16$的两个交点到点$M_0$的距离的和与积.

解:直线$l$的参数方程为$ \begin{cases}x =1+\dfrac {1}{2}t \\y =5+\dfrac {\sqrt 3}{2} t\end{cases}$ ($t$为参数)

1)将直线$l$的参数方程中的$x,y$代入$x-y-2\sqrt 3=0$,得$t=-(10+6\sqrt 3)$.

所以,直线$l$和直线$x-y-2\sqrt 3=0$的交点到点$M_0$的距离为$|t|=(10+6\sqrt 3)$

2)将直线$l$的方程中的$x,y$代入$x^2+y^2=16$,

得$t^2+(1+5\sqrt 3)t+10=0$

设此方程的两根为$t_1,t_2$,则$t_1+t_2=-(1+5\sqrt {3}),t_1t_2=10$.

可知$ t_1t_2$均为负值,所以$|t_1|+|t_2|=-(t_1+t_2)=1+5\sqrt {3}.$

点评:解决本题的关键一是正确写出直线的参数,二是注意两个点对应的参数的符号的异同。

三 求直线与曲线相交的弦长

例1 过抛物线$y^2=4x$的焦点作斜角为$\dfrac {3}{4}\pi$的直线与抛物线交于$A$、$B$两点,求$|AB|$.

解 因直线的倾角为$\dfrac {3}{4}\pi$,则斜率为$-1$,

又抛物线的焦点为$F(1,0)$,

则可设$AB$的方程为 $ \begin{cases}x =1-\dfrac {\sqrt {2}}{2}t \\y =\dfrac {\sqrt 2}{2} t\end{cases}$ ($t$为参数)

代入$y^2=4x$整理得$t^2+4\sqrt {2}t-16=0$

由韦达定理得$t_1+t_2=-4\sqrt {2}$,$t_1t_2=-16$。

∴$|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt {(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt {96}=4\sqrt {6}$.

例2 已知直线$L:x+y-1=0$与抛物线$y=x^2$交于$A,B$两点,求线段$AB$的长和点$M(-1,2)$到$A,B$两点的距离之积.

解:因为直线$L$过定点$M,$且$L$的倾斜角为$\dfrac {3}{4}\pi$,

所以它的参数方程是$ \begin{cases}x =-1+t\cos\dfrac {3\pi}{4} \\y =2+t\sin\dfrac {3\pi}{4}\end{cases}$ ($t$为参数)

即$ \begin{cases}x =-1-\dfrac {\sqrt {2}}{2}t \\y =2+\dfrac {\sqrt {2}}{2}t \end{cases}$ ($t$为参数)

把它代入抛物线的方程,得$t^2+\sqrt {2}t-2=0.$

解得$t_1=\dfrac {-\sqrt {2}+\sqrt {10}}{2}, t_2=\dfrac {-\sqrt {2}-\sqrt {10}}{2}.$

由参数$t$的几何意义得$$|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt {10}$$ $$|MA|\cdot|MB|=|t_1t_2|=2$$

点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点$M(-1,2)$在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数$t$的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.

四、求解中点问题

例1,已知经过点$P(2,0),$斜率为$\dfrac {4}{3}$的直线和抛物线$y^2=2x$相交于$A,B$两点,设线段$AB$的中点为$M,$求点$M$的坐标.

解:设过点$P(2,0)$的直线$AB$的倾斜角为$\alpha$,

由已知可得: $\cos \alpha=\dfrac {3}{5},\sin \alpha=\dfrac {4}{5}$

所以,直线的参数方程为$ \begin{cases}x =2+\dfrac {3}{5}t \\y =\dfrac {4}{5}t \end{cases}$ ($t$为参数)

代入$y^2=2x$,整理得$8t^2-15t-50=0$

中点$M$的相应的参数是$t=\dfrac {t_1+t_2}{2}=\dfrac {15}{16}$

所以点$M$的坐标为$(\dfrac {41}{16},\dfrac {3}{4})$

点评:在直线的参数方程中,当$t>0$,则$\overrightarrow {MA} $的方向向上;当$t<0$,则$\overrightarrow {MB} $的方向向下,所以$A,B$中点的$M$所对应的$t$的值等于$\dfrac {t_1+t_2}{2}$,这与二点之点的中点坐标有点相同.

例2.已知双曲线$ x^2-\dfrac {y^2}{2}=1$,过点$P(2,1)$的直线交双曲线于$P_1,P_2$,求线段$P_1P_2$的中点$M$的轨迹方程。

分析:中点问题与弦长有关,考虑用直线的参数方程,并注意有$t_1 +t_2=0$。

解:设$M(x_0,y_0)$为轨迹上任一点,则直线$P_1P_2$的方程是$ \begin{cases}x = {x_0} + t\cos \alpha \\y = {y_0} + t\sin \alpha \end{cases}.$($t$为参数),代入双曲线方程得:$(2\cos^2θ −\sin^2θ) t^2 +2(2x_0\cosθ −y_0\sinθ)t + (2x_0^2 −y_0^2 −2) = 0$,

由题意$t_1 +t_2=0$,即$2x_0\cosθ −y_0\sinθ =0$,得$\tanθ=\dfrac {2x_0}{y_0}$。

又直线$P1,P2$的斜率 $k=\tan \theta=\dfrac {y-y_0}{x-x_0}$,点$P(2,1)$在直线$P_1P_2$上,

∴$\dfrac {y-y_0}{x-x_0}=\dfrac {2x_0}{y_0}$,即$2x^2 −y^2 −4x +y = 0$为所求的轨迹的方程。

五,求点的轨迹问题

例1.上一个问题中例题2.

六、求定点到动点的距离

例1.直线$l$$过点P(1,2)$,其参数方程为$\begin{cases}x=1-t\\ y=2+t \end{cases}$ ($t$是参数),直线$l$与直线 $2x +y −2 =0$ 交于点$Q$,求$PQ$。

解:将直线$l$的方程化为标准形式$\begin{cases}x=1-\dfrac {\sqrt {2}}{2}t’\\ y=2+\dfrac {\sqrt {2}}{2}t’ \end{cases}$,代入 $2x +y −2 =0$得 $t' =\dfrac {3\sqrt 2}{2}$,

∴ $PQ = | t'| = \dfrac {3\sqrt 2}{2}$。

点评:题目给出的直线的参数并不是位移,直接求解容易出错,一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。

例2.经过点$P(−1,2)$,倾斜角为$\dfrac {\pi}{4}$ 的直线 $l$与圆$ x^2 +y^2 = 9$相交于$A$,$B$两点,求$PA +PB$和$PA · PB$的值。

解:直线$l$的方程可写成$\begin{cases}x=-1+\dfrac {\sqrt {2}}{2}t\\ y=2+\dfrac {\sqrt {2}}{2}t \end{cases}$,代入圆的方程整理得:$t^2 +\sqrt {2}t−4=0$,设点$A$,$B$对应的参数分别是$t_1, t_2$,则$t_1 +t_2 = −\sqrt {2}$,$t_1 ·t_2 = −4$,由$t_1$ 与$t_2$的符号相反知$PA +PB = |t_1| +|t_2| = | t_1 −t_2| =\sqrt {(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=3\sqrt {2}$,$PA · PB =| t_1 · t_2 | = 4$。

点评:解决本题的关键一是正确写出直线的参数,二是注意两个点对应的参数的符号的异同。

七、求直线与曲线相交弦的长

例1.已知抛物线$y^2 = 2px$,过焦点$F$作倾斜角为$θ$的直线交抛物线于$A$,$B$两点,求证:$AB=\dfrac {2p}{\sin^2\theta}$。

分析:弦长$AB = |t_1 −t_2|$。

解:由条件可设$AB$的方程为$ \begin{cases}x = \dfrac {p}{2} + t\cos \alpha \\y = t\sin \alpha \end{cases}.$($t$为参数),代入抛物线方程,

得$ t^2 \sin^2 θ −2pt\cos θ −p^2 = 0$,由韦达定理:$ \begin{cases} t_1+t_2 = \dfrac {2p\cos\theta}{\sin\theta} \\ t_1 \cdot t_2 = -\dfrac {p^2}{\sin\theta} \end{cases}.$

∴ $AB = |t_1 −t_2| = \sqrt {(t_1+t_2)^2-4t_1t_2} =\sqrt {\dfrac{4p^2\cos^2\theta}{\sin\theta}+\dfrac {4p^2} { \sin^2\theta}}=\dfrac {2p}{\sin^2\theta}$。

例2.已知椭圆的中心在原点,焦点在$x$轴上,过椭圆左焦点$F$且倾斜角为$60^°$的直线交椭圆于$A$,$B$两点,若$FA =2FB$,求则椭圆的离心率。

分析:$FA =2FB$转化成直线参数方程中的$ t_1= −2t_2$或$|t_1| =2|t_2|$。

解:设椭圆方程为$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$,左焦点$F_1(c,0)$,

直线$AB$的方程为$\begin{cases}x=-c+\dfrac {1}{2}t\\ y=\dfrac {\sqrt {3}}{2}t \end{cases}$,

代入椭圆整理可得:$(\dfrac {1}{4}b^2 +\dfrac {3}{4}a^2)t^2 – b^2ct −b^4 = 0$,

由于$t_1= −2t_2$,则$$\begin{cases} t_1+t_2=\dfrac {b^2c}{\dfrac {1}{4}b^2+\dfrac {3}{4}a^2}=-t_2{}&①\\ t_1t_2=-\dfrac {-b^4}{\dfrac {1}{4}b^2+\dfrac {3}{4}a^2}=-2t_2^2{}&② \end{cases}$$

$①^2×2+②$得:$2c^2=\dfrac {1}{4}b^2+\dfrac {3}{4}a^2$,将$b^2 =a^2 −c^2$代入$8 c^2 = 3 a^2 + a^2 −c^2$,

得$e^2=\dfrac {c^2}{a^2}=\dfrac {4}{9}$,故$e =\dfrac {2}{3}$。

在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时,往往要正确写出直线的参数方程,利用 $t$ 的几何意义,结合一些定理和公式来解决问题,这是直线参数的主要用途;通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量$ t $来表示,可以将二元问题转化为一元问题来求解,体现了等价转化和数形结合的数学思想。

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