圆的参数方程及其应用

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圆心为原点,半径为$r$的圆的参数方程是什么呢?

如果点$P$的坐标是$(x,y)$,圆的半径是$r$,$\angle {P_{0}OP}=\theta$,根据三角函数的定义点$P$的横坐标$x$、纵坐标$y$都是$\theta$的函数,即$$\begin{cases}x = r\cos \theta \\y = r\sin \theta \end{cases}{}①$$并且对于$\theta$的每一个允许值,由方程组①所确定的点$P(x,y)$都在圆$O$上.

我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为$r$的圆的参数方程,$\theta$为参数.

圆心为$O_1(x,y)$,半径为$r$的圆的标准方程是$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$,那么参数方程是什么呢?$$\begin{cases}x = a+r\cos \theta \\y = b+r\sin \theta \end{cases}$$

例1、已知圆方程$x^2+y^2 +2x-6y+9=0$,将它化为参数方程。

解: $x^2+y^2 +2x-6y+9=0$化为标准方程:$(x+1)^2+(y-3)^2=1$,

∴参数方程为$\begin{cases}x = -1+\cos \theta \\y = 3+\sin \theta \end{cases}$ ($θ$为参数)

练习:

1.填空:已知圆$O$的参数方程是$\begin{cases}x = 5\cos \theta \\y = 5\sin \theta \end{cases}{}(0\le\theta<2\pi)$

(1)如果圆上点$P$所对应的参数$\theta=\dfrac{{5\pi }}{3}$,则点$P$的坐标是________.

(2)如果圆是点$Q$所对应的点的坐标是$\left( { - \dfrac{5}{2},\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}} \right)$,则点$Q$对应的参数$\theta$=________.

答案:(1)$\left( {\dfrac{5}{2}, - \dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}} \right)$

(2)$\dfrac{{2\pi }}{3}$

2.把圆的方程$^2 + {y^2} + 2x - 4y + 1 = 0$化为参数方程为________.

答案:$\begin{cases}x = - 1 + 2\cos \theta \\y = 2 + 2\sin \theta \end{cases}$

例2. 如图,已知点$P$是圆$x^2+y^2=16$上的一个动点,点$A$是$x$轴上的定点,坐标为$(12,0).$当点$P$在圆上运动时,线段$PA$中点$M$的轨迹是什么?

解:设$M$的坐标为$(x,y)$,圆$x^2+y^2=16$的参数方程为$\begin{cases}x = 4\cos \theta \\y = 4\sin \theta \end{cases}$

∴可设点$P$坐标为$(4\cosθ,4\sinθ)$

由中点公式得:点$M$的轨迹方程为$\begin{cases}x = 6+2\cos \theta \\y = 2\sin \theta \end{cases}$

∴点$M$的轨迹是以$(6,0)$为圆心、$2$为半径的圆。

例3、已知点$P(x,y)$是圆$x^2+y^2- 6x- 4y+12=0$上动点,求

(1)$ x^2+y^2$ 的最值,

(2)$x+y$的最值,

(3)$P$到直线$x+y- 1=0$的距离$d$的最值。

解:圆$x^2+y^2- 6x- 4y+12=0$即$(x-3)^2+(y-2)^2=1$,用参数方程表示为$\begin{cases}x = 3+\cos \theta \\y =2+\sin \theta \end{cases}$

由于点$P$在圆上,所以可设$P(3+\cosθ,2+\sinθ)$,

(1)

$\begin{align*}x^2+y^2 &= (3+\cosθ)^2+(2+\sinθ)^2\\ &=14+4 \sinθ +6\cosθ\\ &=14+2\sqrt {13}\sin(θ+\varphi)\end{align*}$

(其中$\tan \varphi =\dfrac {3}{2}$)

∴ $x^2+y^2$的最大值为$14+2\sqrt {13}$,最小值为$14-2\sqrt {13}$。

(2)$ x+y=3+\cosθ+ 2+\sinθ=5+\sqrt {2}\sin( θ+\dfrac {\pi}{4})$

∴ $x+y$的最大值为$5+\sqrt {2}$,最小值为$5-\sqrt {2}$;

(3) $d = \dfrac{{\left| {3 + \cos \theta + 2 + \sin \theta - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {4 + \sqrt 2 \sin (\theta + \dfrac{\pi }{4})} \right|}}{{\sqrt 2 }}$

显然当$\sin( θ+\dfrac {\pi}{4})=\pm 1$时,$d$取最大值、最小值,分别为$2\sqrt {2}+1,2\sqrt {2}-1$.

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