极坐标与直角坐标的互化

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设$M$为平面上的一点,它的直角坐标为$(x,y)$,极坐标为$(ρ,θ)$.

由图可知下面的关系式成立:$\begin{cases} x=ρ\cos\theta\\y=ρ\sin\theta \end{cases},$或$\begin{cases} ρ^2=x^2+y^2\\ \tan\theta=\dfrac{y}{x}{}(x\ne0) \end{cases}$ ($\theta$与$(x,y)$所在象限一致).

(1)在将直角坐标化为极坐标求极角$θ$时,易忽视判断点所在的象限(即角$θ$的终边的位置).

(2)在极坐标系下,点的极坐标不惟一性易忽视.

注意极坐标$(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ)$,$(-ρ,π+θ+2kπ)(k∈Z)$表示同一点的坐标.

在极坐标系下,已知圆$O$:$ρ=\cos θ+\sin θ$和直线$l$:$ρ\sin(θ-\dfrac {π}{4})=\dfrac {\sqrt {2}}{2}.$

(1)求圆$O$和直线$l$的直角坐标方程;

(2)当$θ∈(0,π)$时,求直线$l$与圆$O$公共点的一个极坐标.

解:(1)圆$O$:$ρ=\cos θ+\sin θ$,即$ρ^2=ρ\cos θ+ρ\sin θ$,

圆$O$的直角坐标方程为:$x^2+y^2=x+y$,

即$x^2+y^2-x-y=0$,

直线$l$:$ρ\sin(θ-\dfrac {π}{4})=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$,即$ρ\sin θ-ρ\cos θ=1$,

则直线$l$的直角坐标方程为:$y-x=1,$即$x-y+1=0.$

(2)由$x^2+y^2-x-y=0,x-y+1=0$,得$x=0,y=1$,故直线$l$与圆$O$公共点的一个极坐标为$(1,\dfrac {π}{2})$.

极坐标方程与普通方程互化技巧

(1)巧用极坐标方程两边同乘以$ρ$或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有$ρ\cos θ$,$ρ\sin θ$,$ρ^2$的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.

(2)巧借两角和差公式,转化$ρ\sin(θ±α)$或$ρ=\cos(θ±α)$的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程.

(3)将直角坐标方程中的$x$转化为$ρ\cos θ$,将$y$换成$ρ\sin θ$,即可得到其极坐标方程.

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