曲线的极坐标方程

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如果曲线$C$上的点与方程$f(\rho,\theta)=0$有如下关系:

(1)曲线$C$上任意一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程$f(\rho,\theta)=0$;

(2)方程$f(\rho,\theta)=0$的解为坐标的点都在曲线$C$上。

则曲线$C$的方程是$f(\rho,\theta)=0.$

如图:半径为$a$的圆的圆心坐标为$(a,0)\quad (a>0)$,你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标$(\rho,\theta)$所满足的关系吗?

        解:圆经过极点$O$,设圆与极轴的另一个交点为$B$,$OB=2a$,

设$M(\rho,\theta)$是圆上除了点$O$与$B$外的任意一点,则$OM\perp MB$,

$\therefore \rho=2a\cos \theta$

可以证明:$O(0,\dfrac {\pi}{2})$和$B(2a,0)$的坐标满足上式。

所以,$\therefore \rho=2a\cos \theta$就是圆上任意一点的极坐标$(\rho,\theta)$满足的条件,另一方面,可以验证,坐标适合此式的点都在这个圆上。

所以,圆心坐标为$(a,0)\quad (a>0)$,半径为$a$的圆的极坐标方程为$\rho=2a\cos \theta$

例1.已知圆$O$的半径为$r$,建立怎样的坐标系可以让圆的极坐标方程最简单?

解:如果以$O$为极点,以从$O$出发的一条射线为极轴,建立极坐标系。

则圆上每一点$M(\rho,\theta)$的几何特征是它到极点的距离都为$\rho$,

因此,圆$O$的极坐标方程是$\rho=\theta.$

思考:已知一个圆的极坐标方程为$\rho=5\sqrt 3\cos \theta-5\sin \theta$,求圆心坐标和半径。

解:$\rho=5\sqrt 3\cos \theta-5\sin \theta$两边同乘以$\rho$得:$$\rho^2=5\sqrt 3\rho\cos \theta-5\rho\sin \theta$$

化为直角坐标方程可得:$$x^2+y^2-5\sqrt 3x+5y=0$$也就是$$(x-\dfrac {5\sqrt {3}}{2})^2+(y+\dfrac {5}{2})^2=25$$因此,圆心为$(\dfrac {5\sqrt {3}}{2},-\dfrac {5}{2})$,半径为$5.$

你能用极坐标的方法直角解决问题吗?

$\rho=10(\cos \theta \dfrac {\sqrt {3}}{2}-\sin \theta \dfrac {1}{2})=10\cos(\theta+\dfrac {\pi}{6})$

所以,圆心为$(5,\dfrac {\pi}{6})$,半径为$5.$

结论:圆心为$(a,\beta)\quad (a>0)$,半径为$a$的圆的极坐标方程为$\rho=2a\cos (\theta-\beta)$,此圆过极点.

练习:以极坐标系中的点$(1,1)$为圆心,$1$为半径的圆的极坐标方程为(   )

$A.\quad \rho=2\cos (\theta-\dfrac {\pi}{4})\qquad B.\quad \rho=2\sin (\theta-\dfrac {\pi}{4})$

$C.\quad \rho=2\cos (\theta-1)\qquad D.\quad \rho=2\sin(\theta-1)$

答案:$C$

结论:

(1)圆心在极点,半径为$r$的圆的极坐标方程是$\rho=r.$

(2)圆心在$(a,0)$,半径为$a$的圆的极坐标方程是$\rho=2a\cos \theta.$

(3)圆心在$(a,\beta)$,半径为$a$的圆的极坐标方程是$\rho=2a\cos(\theta-\beta).$

(4)圆心在$(\rho_0,\theta_0)$,半径为$r$的圆的极坐标方程是$r^2=\rho^2+\rho_0^2-2\rho\rho_0\cos(\theta-\theta_0).$

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