绝对值三角不等式的简单应用

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所属分类:不等式选讲

在选修4-5中,我们学习了一个非常重要的定理:绝对值三角不等式,其表达形式可以引申为$$\left||a|-|b|\right|\le |a\pm b|\le |a|+|b|$$,本文将通过一些例子来说明绝对值三角不等式的应用.

(1)若$a,b\in \mathcal R$,则$|a+b|=|a|+|b|$成立的充要条件是________.

(2)函数$f(x)=|x+1|+|x-2|$的最小值为________.

(3)函数$f(x)=|x+1|-|x-2|$的最大值为________.

【解析】 (1)$|a+b|=|a|+|b|⇔(a+b)^2=(|a|+|b|)^2$

$⇔a^2+2ab+b^2=a^2+2|a||b|+b^2$

$⇔ab=|a||b|⇔ab\ge 0$,

$∴|a+b|=|a|+|b|$成立的充要条件为$ab\ge 0$.

(2)由绝对值三角不等式

$f(x)=|x+1|+|x-2|\ge |(x+1)-(x-2)|=3$,

$∴f(x)$的最小值为3.

(3)$f(x)=|x+1|-|x-2|\le |(x+1)-(x-2)|=3$,

当且仅当$(x+1)(x-2)\le 0$,即$-1\le x\le 2$时取等号.

$∴f(x)$的最大值为$3$.

【答案】 (1$)ab\ge 0$ (2)3 (3)3

绝对值三角不等式的注意点

(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到,特别是用此定理求函数的最大(小)值时.

(2)该定理可以推广为$|a+b+c|\le |a|+|b|+|c|$,也可强化为$||a|-|b||\le |a±b|\le |a|+|b|$,它们经常

用于含绝对值的不等式的证明.

(3)当$ab\ge 0$时,$|a+b|=|a|+|b|$;

当$ab\le 0$时,$|a-b|=|a|+|b|$;

当$b(a+b)\le 0$时,$|a|-|b|=|a+b|$;

当$b(a-b)\ge 0$时,$|a|-|b|=|a-b|$.

思考题1 (1)①$|a+b|<|a|+|b|$成立的充要条件为________;

②$|a-b|=|a|+|b|$成立的充要条件为__________;

③$|a-b|<|a|+|b|$成立的充要条件为__________.

【答案】 ①$ab<0$ ②$ab\le 0$ ③$ab>0$

(2)已知实数$a\in (0,1) $,则关于$x$的不等式$|x-\log_ax|<|x|+|\log_ax|$的解集为__________.

【解析】 $|x-\log_ax|<|x|+|\log_ax|⇔x\log_ax>0⇔\log_ax>0$,$∴0<x<1$.

【答案】$ (0,1) $

(3)(2019·福州质检)已知$∃x\in R$,使不等式$|x-1|-|x-2|\ge t$成立,则满足条件的实数$t$的集合$T$为________.

【解析】 据题意$ (|x-1|-|x-2|)_{max}\ge t$,

而由$||x-1|-|x-2||\le |(x-1)-(x-2)|=1$,

得$-1\le |x-1|-|x-2|\le 1$.$∴t\le 1$,$∴t∈(-∞,1] $.

【答案】 $ (-∞,1] $

函数$f(x)=|x+1|+|2x+a|$的最小值为3,则实数$a$的值为(  )

$A$.$5$或$8$     $ B$.$-1$或$5$        $C$.$-1$或$-4$        $D$.$-4$或$8$

【解析】 $∵f(x)=|x+1|+|x+\dfrac a2|+|x+\dfrac a2|$

$\ge |(x+1)-(x+\dfrac a2)|+|x+\dfrac a2|$

$=|1-\dfrac a2|+|x+\dfrac a2|\ge |1-\dfrac a2|$,

当且仅当$x+\dfrac a2=0$即$x=-\dfrac a2$时成立.

令$|1-\dfrac a2|=3$,得$a=-4$或8.选$D. $

【答案】 $D$

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