含有绝对值不等式的问题漫谈

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所属分类:不等式选讲

【典例1】(2018·合肥二模)已知函数$f(x)=|2x-a|+a.$

(1)当$a=2$时,求不等式$f(x)\le 6$的解集.

(2)设函数$g(x)=|2x-1|.$当$x∈\mathbb R$时,$f(x)+g(x)\ge 3$,求$a$的取值范围.

【分析】解题的格式总是千变万化的,每一道题每个人的解法、格式总是不同的,这就是为什么我们看参考书的解析的时候,同一种题型,一会儿这样的方法解,一会儿那样的方法解。其实这并不应该是我们纠结的地方,对我们来说形成我们自己固定的科学的解法才是重中之重。在这里我们解含有两个绝对值的不等式的方法统一采用化为三个不等式组的方法来解。在解不等式问题中,恒成立或存在问题一直是重点问题,也是基础问题,我们解决此类问题的办法常常是:参变分离——》化为求最值问题。而对于含有两个绝对值的问题求最值,一个常用的知识就是含绝对值的三角不等式$||a|-|b||\le|a\pm b|\le|a|+|b|.$

解: (1)当$a=2$时,$f(x)=|2x-2|+2$.

解不等式$|2x-2|+2\le 6$,得-$1\le x\le 3,$

因此$f(x)\le 6$的解集为$\{x|-1\le x\le 3\}.$

(2)当$x∈\mathbb R$时,

$f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|\ge |2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a$,

当$x=\dfrac 12$时等号成立,

所以当$x∈\mathbb R$时, $f(x)+g(x)\ge 3$等价于$|1-a|+a\ge 3$.①

当$a\le 1$时,①等价于$1-a+a\ge 3$,无解;

当$a>1$时,①等价于$a-1+a\ge 3$,解得$a\ge 2$;

所以$a$的取值范围是$ [2,+∞). $

【练习】已知函数$f(x)=|x-a|+|x+2|.$

(1)当$a=1$时, 求不等式$f(x)\le 5$的解集.

(2) $∃x_0∈\mathbb R,f(x_0)\le |2a+1|$,求$a$的取值范围.

解:(1)当$a=1$时, $ f(x)=|x-1|+|x+2|$,$f(x)\le 5$可化为:

$\begin{cases} x\le -2\\-2x-1\le 5 \end{cases}$或$\begin{cases} 2<x<1\\3\le 5 \end{cases}$或$\begin{cases} x\ge 1\\2x+1\le 5 \end{cases}$

解得$-3\le x\le -2$或$-2<x<1$或$1\le x\le 2$,

综上所述,不等式的解集为$\{x|-3\le x\le 2\}.$

(2)因为$f(x)=|x-a|+|x+2|\ge |(x-a)-(x+2)|=|a+2|,$

因为$∃x_0∈R,$有$f(x)\le |2a+1|$成立,

所以只需$|a+2|\le |2a+1|$,

化简可得$a^2-1\ge 0,$解得$a\le -1$或$a\ge 1,$

所以$a$的取值范围为$(-∞,-1]∪[1,+∞).$

上面两道题的特点是在求最值的时候都可以用含有绝对值的三角不等式来求,可能大家也发现了凡是能用三角不等式来求最值的问题,两个绝对值内变量的系数必须是相同的,如果出现系数不同的情况就不能用三角不等式来求了.

【典例2】(2018·南阳三模)已知函数$f(x)=|3x+2|.$

(1)解不等式$f(x)<4-|x-1|.$

(2)已知$m+n=1(m,n>0),$若$|x-a|-f(x)\le \dfrac 1m+\dfrac 1n (a>0)$恒成立,求实数$a$的取值范围.

解:(1)不等式$f(x)<4-|x-1|,$即$|3x+2|+|x-1|<4$的解集为$x\in (-\dfrac54,\dfrac 12).$

(2) $\dfrac 1m+\dfrac 1n =(\dfrac 1m+\dfrac 1n) (m+n)=1+1+\dfrac {n}{m}+\dfrac {m}{n}\ge 4,$

令$g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|$则

$g(x)=\begin{cases}2x+2+a\quad&x<-\dfrac 23 \\ -4x-2+a&-\dfrac 23\le x\le a\\ -2x-2-a&x>a\end{cases}$

当$ x<-\dfrac 23$时,$ g(x)= 2x+2+a <\dfrac 23+a $;

当$ -\dfrac 23\le x\le a $时,$ g(x)= -4x-2+a$,$-3a-2\le g(x)\le \dfrac 23+a $;

当$ x>a $时,$ g(x)= -2x-2-a <-3a-2 .$

所以$x=-\dfrac 23$时$g(x)_{max}=\dfrac 23+a$,

要使不等式恒成立,只需$g(x)_{max}=\dfrac 23+a\le 4$

即$0<a\le \dfrac{10}{3}.$

【练习1】(2018·河南郑州质量检测)已知函数$f(x)=|2x-a|+|x-1|,a\in \mathcal R.$

(1)若不等式$f(x)+|x-1|\ge 2$对任意的$x\in \mathcal R$恒成立,求实数$a$的取值范围;

(2)当$a<2$时,函数$f(x)$的最小值为$a-1$,求实数$a$的值.

(1)$(-\infty,0]\cup[4,+\infty)$       (2)$a=\dfrac 43$

【练习2】(2017·乐山一模)已知函数$f(x)=|2x-1|-|x+2|.$

(1)求不等式$f(x)>0$的解集;

(2)若存在$x_0\in \mathcal R$使得$f(x_0)+2a^2<4a$,求实数$a$的取值范围.

【思考】对于不能用三角不等式来解决的问题,我们可以把式子写成分段函数的形式,然后根据每一部分自变量的范围去求最值.

(1)$\{x|x<-\dfrac 13,$或$x>3\}$       (2)$-\dfrac 12<a<\dfrac 52$

【例题3】(2018·全国卷Ⅲ) 设函数$f(x) = |2x + 1| + |x - 1|$.

(1)画出$y = f(x)$的图像;

(2)当$x \in [0, + \infty )$时,$f(x) \le ax + b$,求$a + b$的最小值.

(1) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - 3x,x < - \dfrac{1}{2},\\x + 2, - \dfrac{1}{2} \le x < 1,\\3x,x \ge 1.\end{array} \right.$ $y = f(x)$的图像如图所示.

(2)由(1)知,$y = f(x)$的图像与$y$轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当$a \ge 3$且$b \ge 2$时,$f(x) \le ax + b$在$[0, + \infty )$成立,因此$a + b$的最小值为5.

【练习】设函数$f(x)=|x-1|+\dfrac 12|x-3|.$

(1)求不等式$f(x)>2$的解集;

(2)若不等式$f(x)\le a(x+\dfrac 12)$的解集非空,求实数$a$的取值范围.

不等式问题中的很多题目都是存在或恒成立问题,对于此类问题我们一般都是采用参变分离转化为求最值问题,或者利用图像解决。但是在有些问题中需要我们深刻的理解题意,并挖掘题目中所包含的信息。

【例题4】(2017·新课标Ⅰ)已知函数$f(x) = - {x^2} + ax + 4$,$g(x) = |x + 1| + |x - 1|$.

(1)当$a = 1$时,求不等式$f(x) \ge g(x)$的解集;

(2)若不等式$f(x) \ge g(x)$的解集包含$[ - 1,1]$,求$a$的取值范围.

【分析】$f(x) \ge g(x)$的解集包含$[ - 1,1]$,等价于当$x \in [ - 1,1]$时$f(x) \ge 2$.

解:(1)当$a = 1$时,不等式$f(x) \ge g(x)$等价于

${x^2} - x + |x + 1| + |x - 1| - 4 \le 0$.

原不等式可化为:$\begin{cases}x<-1\\ {x^2} - 3x - 4 \le 0\end{cases}$或$\begin{cases}- 1 \le x \le 1\\ {x^2} - x - 2 \le 0\end{cases}$或$\begin{cases} x > 1\\{x^2} + x - 4 \le 0\end{cases}$

解得:$- 1 \le x \le 1$或$1 < x \le \dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}$.

所以$f(x) \ge g(x)$的解集为$\{ x| - 1 < x \le \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\} $.

(2)当$x \in [ - 1,1]$时,$g(x) = 2$.

所以$f(x) \ge g(x)$的解集包含$[ - 1,1]$,等价于当$x \in [ - 1,1]$时$f(x) \ge 2$.

又$f(x)$在$[ - 1,1]$的最小值必为$f( - 1)$与$f(1)$之一,

所以$f( - 1) \ge 2$且$f(1) \ge 2$,得$ - 1 \le a \le 1$.

所以$a$的取值范围为$[ - 1,1]$.

【练习】(2018·山西太原一模)已知函数$f(x)=|x+m|+|2x-1|.$

(1)当$m=-1$时,求不等式$f(x)\le 2$的解集;

(2)若$f(x)\le |2x+1|$的解集包含$\left[\dfrac 34,2\right]$,求$m$的取值范围.

(1)$\left\{x|0\le x\le \dfrac 43 \right\}$ (2)$\left[-\dfrac {11}{4},0\right]$

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