2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷1)

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所属分类:解题研究

1.设$z=\dfrac {3-i}{1+2i}$,则$|z|=$

A. 2         B.$\sqrt 3$         C.$\sqrt 2$        D.1

2.已知集合$U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$,$A=\{2,3,4,5\}$,$B=\{2,3,6,7\}$,则$B\cap \complement_UA=$

A. $\{1,6\}$       B.$\{1,7\}$         C.$\{6,7\}$          D.$\{1,6,7\}$

3.已知$a=\log_20.2,b=2^{0.3},c=0.2^{0.3}$,则

A. $a<b<c$      B.$a<c<b$      C.$c<a<b$      D.$b<c<a$

4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是$\dfrac {\sqrt 5-1}{2}$($\dfrac {\sqrt 5-1}{2}\approx 0.618$,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是$\dfrac {\sqrt 5-1}{2}$.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是

A. 165 cm          B.175 cm          C.185 cm          D.190cm

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我们把腿长当成从肚脐到脚底的距离(实际是小于),因此,身高$l>105×0.618+105=100×0.618+5×0.618+105=169.89$.

我们把从头顶到脖子下端的距离当成从头顶到咽喉的距离(实际是大于),因此身高$l<(26+\dfrac {26}{0.618})+\dfrac {26+\dfrac {26}{0.618}}{0.618}\approx 26+42+\dfrac{26+42}{0.618}\approx 68+110=178.$

因此,$169.89<l<178$,所以选$B$.

5.函数$f(x)=\dfrac {\sin x +x}{\cos x+x^2}$在$[-\pi,\pi]$的图像大致为

 

 

 

 

 

 

6.某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,……,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验. 若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是

A. 8号学生          B. 200号学生          C. 616号学生          D. 815号学生

7. $\tan255^\circ=$

A. $-2-\sqrt 3$          B. $-2+\sqrt 3$         C. $2-\sqrt 3$         D. $2+\sqrt 3$

8.已知非零向量$\vec a,\vec b$满足$|\vec a|=2|\vec b|$,且$(\vec a-\vec b)\perp \vec b$,则$\vec a$与$\vec b$的夹角为

A. $\dfrac {\pi}{6}$          B. $\dfrac {\pi}{3}$         C. $\dfrac {2\pi}{3}$         D. $\dfrac {5\pi}{6}$

9.如图是求$\dfrac {1}{2+\dfrac {1}{2+\dfrac {1}{2}}}$的程序框图,图中空白框中应填入

A. $A=\dfrac {1}{2+A}$

B. $A=2+\dfrac {1}{A}$

C. $A=\dfrac {1}{1+2A}$

D. $A=1+\dfrac {1}{2A}$

10.双曲线$C:\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{b^2}=1\quad (a>0,b>0)$的一条渐近线的倾斜角为$130^\circ$,则$C$的离心率为

A. $2\sin 40^\circ$          B. $2\cos 40^\circ$         C. $\dfrac {1}{\sin 50^\circ}$         D. $\dfrac {1}{\sin 50^\circ}$

11.$\triangle ABC$的内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$. 已知$a\sin A-b\sin B=4c\sin C$,$\cos A=-\dfrac 14$,则$\dfrac bc=$

A. 6          B. 5         C. 4         D. 3

12.已知椭圆$C$的焦点为$F_1(-1,0),F_2(1,0)$,过$F_2$的直线与$C$交于$A,B$两点. 若$|AF_2|=2|F_2B|$,$|AB|=|BF_1|$,则$C$的方程为

A. $\dfrac {x^2}{2}+y^2=1$          B. $\dfrac {x^2}{3}+\dfrac {y^2}{2}=1$         C. $\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {y^2}{3}=1$         D. $\dfrac {x^2}{5}+\dfrac {y^2}{4}=1$

13.曲线$y=3(x^2+x){\rm e}^x$在点$(0,0)$处的切线方程为______________.

14.记$S_n$为等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和,若$a_1=1$,$S_3=\dfrac 34$,则$S_4=$____________.

15.函数$f(x)=\sin (2x+\dfrac {3\pi}{2})-3\cos x$的最小值为____________.

16.已知$\angle ACB=90^\circ$,$P$为平面$ABC$外一点,$PC=2$,点$P$到$\angle ACB$两边$AC,BC$的距离均为$\sqrt 3$,那么$P$到平面$ABC$的距离为____________.

17.(12分)

某商场为提高服务质量,随机调查了$50$名男顾客和$50$名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;

(2)能否有$95$%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?

附:$K^2=\dfrac {n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

 

 

 

18.(12分)

记$S_n$为等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和,已知$S_9=-a_5$.

(1)若$a_3=4$,求$\{a_n\}$的通项公式;

(2)若$a_1>0$,求使得$S_n\ge a_n$的$n$的取值范围.

19.(12分)

如图,直四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的底面是菱形,$AA_1=4$,$AB=2$,$\angle BAD=60^\circ$,$E,M,N$分别是$BC$,$BB_1$,$A_1D$的中点.

(1)证明:$MN//$平面$C_1DE$;

(2)求点$C$到平面$C_1DE$的距离.

20.(12分)

已知函数$f(x)=2\sin x-x\cos x-x$,$f'(x)$为$f(x)$的导数.

(1)证明:$f'(x)$在区间$(0,\pi)$存在唯一零点;

(2)若$x\in [0,\pi]$时,$f(x)\ge ax$,求$a$的取值范围.

21.(12分)

已知点$A,B$关于坐标原点$O$对称,$|AB|=4$,$\odot M$过点$A,B$且与直线$x+2=0$相切.

(1)若$A$在直线$x+y=0$上,求$\odot M$的半径;

(2)是否存在定点$P$,使得当$A$运动时,$|MA|-|MP|$为定值?并说明理由.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系$xOy$中,曲线$C$的参数方程为$\begin{cases}x=\dfrac {1-t^2}{1+t^2}\\y=\dfrac {4t}{1+t^2}\end{cases}$($t$为参数).以坐标原点$O$为极点,$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线$l$的极坐标方程为$2\rho \cos \theta+\sqrt 3\rho \sin \theta+11=0$.

(1)求$C$和$l$的直角坐标方程;

(2)求$C$上的点到$l$距离的最小值.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分)

已知$a,b,c$为正数,且满足$abc=1$,证明:

(1)$\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\ge a^2+b^2+c^2$;

(2)$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge 24$.

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