构造平口单峰函数解题

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所属分类:解题研究

上一篇文章谈到了对吴剑老师提出的平口单峰函数引理及其证明过程的理解,本文借用吴剑老师提到的几个例子来进一步说明平口单峰函数引理的应用.

【例题1】已知函数$f(x)=|x+\dfrac 1x-ax-b|$,当$x\in \left[\dfrac 12,2\right]$时,设$f(x)$的最大值为$M(a,b)$,则$M(a,b)$的最小值为__________.

解:令$g(x)=x+\dfrac 1x$在$x\in \left[\dfrac 12,2\right]$上已经是“平口单峰函数”,极值点为1,且$g(1)=2$,所以$M(a,b)$的最小值为$\dfrac {f(2)-f(1)}{2}=\dfrac 14.$

【例题2】设函数$f(x)=|x^2+ax+b|$,若对于任意实数$a,b$,总存在$x_0\in [0,4]$,使得$f(x_0)\ge m$成立,则实数$m$的取值范围是__________.

【分析】此题除了一次函数之外的部分在$[0,4]$上并不是平口单峰函数,因此我们想要构造一个平口单峰函数与一个一次函数,其实最主要的是平口单峰函数,所以考虑为$x^2$配一个一次式$\lambda x$使得$x^2+\lambda x$在$x_0\in [0,4]$上是平口单峰函数,令$g(x)=x^2+\lambda x$,且$g(0)=g(4)$,得到$\lambda=-4.$

解:$f(x)=|x^2+ax+b|=|x^2-4x+(a+4)x+b|$,则$f(x)$的最大值的最小值为$\dfrac {f(4)-f(2)}{2}=\dfrac {0-(-4)}{2}=2.$

当且仅当$\begin{cases}-(a+4)=0\\ -b=\dfrac {f(4)+f(2)}{2}=-2\end{cases}$,即$\begin{cases}a=-4\\ b=2\end{cases}$时取得.

设函数$f(x)=\left|\dfrac 2x-ax-b\right |$,若对于任意实数$a,b$,总存在实数$x_0\in[1,2]$,使得$f(x_0)\ge m$成立,则实数$m$的取值范围是________.

求$f(x)=\left|\sqrt 2\sin\left(2x=\dfrac {\pi}{4}\right)+ax+b\right|$在$\left[0,\dfrac{3\pi}{2}\right]$上最大值的最小值.

已知函数$f(x)=x^3+ax+b$定义域为$[-1,2]$,记$|f(x)|$的最大值为$M$,则$M$的最小值为(    )

$(A)$ $4$         $(B)$ $3$         $(C)$ $2$         $(D)$ $\sqrt 3$

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