初识平口单峰函数

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所属分类:解题研究

这两天在公众号《野猪数学》看到剑神的一篇关于平口单峰函数的引理,获益匪浅,现分享一下学习这个引理的过程.

引理:若$f(x)$为$[m,n]$上的连续单峰函数,且$f(m)=f(n)$,$x_0$为极值点,则当$k,b$变化时,$g(x)=|f(x)-kx-b|$的最大值的最小值为$\dfrac {|f(n)-f(x_0)|}{2}$,当且仅当$b=\dfrac {f(n)+f(x_0)}{2},k=0$时取得.

初看这个引理,简直是云里雾里,莫名所云.反复读了几遍后发现:既然$k,b$是变化的,那么干脆先考虑$k=0$时的情况,这时令$h(x)=kx+b$,则$h(x)$表示一条和$y$轴垂直的直线,由于我们要求的是$g(x)$的最大值,而$g(x)$的最大值必为$|f(n)-h(n)|$、$|f(x_0-h(x_0)|$之一.(此时$h(m)=h(x_0)=h(n)$)因此就得到了我们要比较的点$\dfrac {f(n)+f(x_0)}{2}$.

所以对于这个引理的证明,我们可以这样写:

不妨假设此平口单峰函数在$(m,x_0)$上递减,在$(x_0,n)$上递增,

令$h(x)=kx+b$,

当$k=0$时,$h(x)=b$,此时,$g(x)$的最大值为$|f(m)-h(m)|=|f(n)-h(n)|$、$|f(x_0)-h(x_0)|$之一,

①$b>\dfrac {f(n)+f(x_0)}{2}$时,$g(x)$的最大值为$|f(x_0)-h(x_0)|=h(x_0)-f(x_0)=b-f(x_0)>\dfrac {f(n)-f(x_0)}{2}$;

②$b<\dfrac {f(n)+f(x_0)}{2}$时,$g(x)$的最大值为$|f(m)-h(m)|=|f(n)-h(n)|=f(n)-h(n)=f(n)-b>\dfrac {f(n)-f(x_0)}{2}$;

③$b=\dfrac {f(n)+f(x_0)}{2}$时,$g(x)$的最大值为$|f(m)-h(m)|=|f(n)-h(n)|=|f(x_0)-h(x_0)|=f(n)-b=\dfrac {f(n)-f(x_0)}{2}$;

当$k\ne 0$时,

①若$h(m),h(n)$两者中有一个或两个小于$\dfrac {f(n)+f(x_0)}{2}$,不妨设$h(n)<h(m)<\dfrac {f(n)+f(x_0)}{2}$,则此时$f(n)-h(n)$为$g(x)$的最大值,且$f(n)-h(n)>\dfrac {f(n)-f(x_0)}{2}.$

$\therefore\quad g(x)_{max}\ge|f(n)-h(n)|>\dfrac {f(n)-f(x_0)}{2}.$

②若$h(m),h(n)$均大等于$\dfrac {f(n)+f(x_0)}{2}$,且等号不同时取得,由$x\in (m,n)$知$h(x_0)>\dfrac {f(n)+f(x_0)}{2}$,而此时$h(x_0)-f(x_0)$为$g(x)$的最大值,

$\therefore\quad g(x)_{max}\ge|f(n)-h(n)|>\dfrac {f(n)-f(x_0)}{2}.$

至此,引理得证.此引理证明摘自野猪数学公众号,本文只是表达了一下对此引理证明的理解过程.给剑神(重庆南开中学吴剑老师,网名:野猪)100个赞.

 

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