剑群解几导数经典千题集(26)

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所属分类:解题研究

解几:26-1.若对圆$(x-1)^2+(y-1)^2$上任意一点$P(x,y)$,$|3x-4y+a|+|3x-4y-b|$的取值与$x,y$无关,则$|a+b|$的取值范围是__________.

解几:26-2.已知椭圆的交点在$x$轴上,椭圆上任意一点到焦点的最大距离为$2+\sqrt 3$,最小距离为$2-\sqrt 3.$

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 点$A,B$为椭圆上的任意两点,$O$为坐标原点,直线$OA$的斜率为$k_1$,直线$OB$的斜率为$k_2$,是否存在常数$\mu$,满足当$k_1k_2=\mu$时,$S_{\triangle AOB}$为定值,若存在求出$\mu$的值,若不存在,说明理由.

解:(Ⅰ) 椭圆的方程为$\dfrac {x^2}{4}+y^2=1$

(Ⅱ) 以坐标原点为极点,$x$轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为$$\rho^2\cos^2\theta+4\rho^2\sin^2\theta=4$$也就是$$\rho^2=\dfrac{4}{4\sin^2\theta+\cos^2\theta}$$

设$A,B$两点的坐标分别为$(\rho_1,\theta_1),(\rho_2,\theta_2)$,则

$\begin{align}S_{\triangle AOB}&=\dfrac 12\rho_1\rho_2\sin(\theta_2-\theta_1)\\ &=\dfrac{2(\sin\theta_2\cos\theta_1-\cos\theta_2\sin\theta_1)}{\sqrt{(4\sin^2\theta_1+\cos^2\theta_1)(4\sin^2\theta_2+\cos^2\theta_2)}}\\ &=\dfrac{2(\tan\theta_2-\tan\theta_1)}{\sqrt{(4\tan^2\theta_1+1)(4\tan^2\theta_2+1)}}\\ &=2\sqrt{\dfrac{k_1^2-2k_1k_2+k_2^2}{16k_1^2k_2^2+4(k_1^2+k_2^2)+1}}\end{align}$

因此,当$(-2k_1k_2)\times4=16k_1^2k_2^2+1$,即$k_1k_2=-\dfrac 14$时,$S_{\triangle AOB}$为定值.

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