一道立体几何中关于翻折后求最值的问题

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所属分类:解题研究

题目:已知$\triangle ABC$,$D$是边$BC$(不包括端点)上的动点,将$\triangle ABD$沿直线$AD$折起到$\triangle AB'D$,使得$B'$在平面$ADC$内的射影恰好在直线$AD$上,则(      )

$A.$ 当$BD=CD$时,$B',C$两点的距离最大

$B.$ 当$BD=CD$时,$B',C$两点的距离最小

$C.$ 当$\angle BAD=\angle CAD$时,$B',C$两点的距离最小

$D.$ 当$BD\perp AD$时,$B',C$两点的距离最大

解:如图可设$\angle B'AD=\alpha$,

$\begin{align}B'C&=(c\sin\alpha)^2+(c\cos\alpha)^2+b^2-2bc\cos\alpha\cos(A-\alpha)\\&=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\cos(A-\alpha)\\&=b^2+c^2-2bc(\cos A\cos^2\alpha+\sin A\sin\alpha\cos\alpha)\\&=b^2+c^2-bc(\sin A\sin 2\alpha+\cos A\cos2\alpha+1)\\&=b^2+c^2-bc[\cos(2\alpha-A)+1]\end{align}$

很明显,当$2\alpha=A$时,$B'C$最小,故选C.

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