2019年保定一模数学文16题

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所属分类:解题研究

已知点$O$为$\triangle {ABC}$所在平面内的一点,且满足$\left|\overrightarrow {OA}\right|=\left|\overrightarrow {OB}\right|=\left|\overrightarrow {OC}\right|=1$,$3\overrightarrow {OA}+4\overrightarrow {OB}+5\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0}$,则$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {AC}=$______________.

在几何图形中求两个向量的数量积,多考察平面向量的基本定理,也就是说把要求数量积的若干向量用一组基底表示出来,然后再进行数量积运算。那么,如何选择基底就成了首先要解决的问题,其实基底的选择也很简单,就是找两个已知条件比较多的两个向量作为基底。(例如模已知,或夹角已知)

有了这一原则,我们再解决这道题就简单很多了,我们可以把$\overrightarrow {OA}$、$\overrightarrow {OB}$、$\overrightarrow {OC}$中的任意两个作为基底,然后再把$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$用基底表示出来即可。

解:由已知得$3\overrightarrow {OA}  =  - 4\overrightarrow {OB}  - 5\overrightarrow {OC} $,两边平方得$\overrightarrow {OB}  \cdot \overrightarrow {OC}  =  - \dfrac{4}{5}$,

同理$\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OC}  =  - \dfrac{3}{5}$,$\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0$所以$\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = (\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} ) \cdot (\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA} ) = \dfrac{4}{5}$

 

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