集合的含义与表示

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所属分类:集合

一、元素与集合的相关概念

1.元素:一般地,我们把研究对象统称为元素.元素常用小写的拉丁字母$a,b,c,\cdots$表示.

2.集合:把一些元素组成的总体叫作集合(简称为集).

集合通常用大写的拉丁字母$A,B,C\cdots$表示.

3.集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.

4.集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.

二、元素和集合的关系

属于:若$a$是集合$A$中的元素就称$a$属于集合$A$,写作:$a∈A$

不属于:若$a$不是集合$A$中的元素就称$a$不属于集合$A$,写作:$a\notin A$

三、常用数集及表示符号

非负整数集(自然数集) $\mathcal {N}$

正整数集 $\mathcal {N^*}$或$\mathcal {N_+}$

整数集 $\mathcal {Z}$

有理数集 $\mathcal {Q}$

实数集 $\mathcal {R}$

四、表示集合的常用方法

1.列举法

把元素一一列举出来,并用花括号“$\{ \}$”括起来表示集合的方法叫作列举法.

2.描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,具体方法是:在花括号内写上表示这个集合元素的代表元素及取值范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

探究一 集合的概念

[典例1] 判断下列各组对象能否组成一个集合:

(1)数学必修$1$课本上的所有难题;

(2)北京大学$2015$级的新生;

(3)平面直角坐标系中,第一象限内的一些点;

(4)篮球比姚明打得好的人;

(5)$2012$年伦敦奥运会的所有参赛运动员;

(6)本班所有高个子的同学.

[解析] (2)(5)中的对象是确定的,而且是不同的,因而能构成集合;(1)中难题标准不明确,不满足确定性,不能构成集合;(3)中“平面直角坐标系中,第一象限内的一些点”,元素不明确,故不能组成一个集合;(4)中篮球打得好与否没有一个明确的标准;(6)中“高个子的同学”对象不确定,因而不能组成集合.

判断一组对象能否组成集合的方法及其关注点:

(1)方法

判断一组对象能否组成集合,关键是看这些元素是否具有确定性、互异性、无序性,如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合,否则不能组成集合.

(2)关注点

利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合,应注意集合中元素的特性,即确定性、互异性、无序性.

练习:下列各项中,不可以组成集合的是(  )

$A.$ 所有的正数    $B.$ 等于$2$的数

$C.$ 接近于$0$的数 $D.$ 不等于$0$的偶数

解析:选项$C$中接近于$0$的数不具有确定性,不可以组成集合.

答案:$C$

探究二 元素与集合的关系

[典例2] 下列所给关系正确的个数是(  )

① $\pi \in \mathcal {R}$;② $3\notin \mathcal {Q}$;③ $0\in \mathcal {N_+}$;④ $|-4|\notin \mathcal {N_+}$.

$A.$ 1 $B.$ 2 $C.$ 3 $D.$ 4

[解析]  $\pi$是实数,故①正确;$3$是无理数,故②正确;③$0$是自然数,但$0\notin \mathcal {N_+}$,③不正确;$ |-4|\in \mathcal {N_+}$,故④不正确.

答案:$B$

判断一个对象是否为某个集合的元素,就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征.如果一个对象是某个集合的元素,那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征.

练习:设不等式$3-2x<0$的解集为$M$,下列正确的是(  )

$A.$ $0∈M,2∈M$ $B.$ $0\notin M,2∈M$

$C.$ $0∈M,2\notin M$ $D.$ $0\notin M,2\notin M$

答案:$B$

探究三 用列举法表示集合

[典例3] 用列举法表示下列集合.

(1)不大于$10$的非负偶数组成的集合;

(2)方程$x^2=x$的所有实数解组成的集合;

(3)直线$y=2x+1$与$y$轴的交点所组成的集合;

(4)方程组$\begin {cases}x+y=1\\x-y=-1 \end{cases}$的解.

[解析] (1)因为不大于$10$是指小于或等于$10$,非负是大于或等于$0$的意思,所以不大于$10$的非负偶数集是$\{0,2,4,6,8,10\}$.

(2)方程$x^2=x$的解是$x=0$或$x=1$,所以方程的解组成的集合为$\{0,1\}$.

(3)将$x=0$代入$y=2x+1$,得$y=1$,即交点是$(0,1)$,故两直线的交点组成的集合是$\{(0,1)\}$.

(4)解方程组$\begin {cases}x+y=1\\x-y=-1 \end{cases}$,解得$\begin {cases}x=0\\y=1 \end{cases}$.

用列举法表示方程组$\begin {cases}x+y=1\\x-y=-1 \end{cases}$的解是$\{(0,1)\}$

(1)花括号“$\{\}$”表示“所有”“整体”的含义,如实数集$\mathcal {R}$可以写为{实数},但如果写成{实数集}、{全体实数}、$\{R\}$都是不确切的.

(2)列举法表示的集合的种类

①元素个数少且有限时,全部列举,如$\{1,2,3,4\}$;

②元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从$1$到$1 000$的所有自然数”可以表示为$\{1,2,3,…,1 000\}$;

③元素个数无限但有规律时,也可以类似地用省略号列举,如:自然数集$\mathcal {N}$可以表示为$\{0,1,2,3,…\}$.

练习:用列举法表示下列集合:

(1)小于$10$的所有自然数组成的集合;

(2)由$1~20$以内的所有质数组成的集合.

解析:(1)设小于$10$的所有自然数组成的集合为$A$,那么$A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

(2)设由$1~20$以内的所有质数组成的集合为$C$,那么$C=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$.

探究四 用描述法表示集合

[典例4] 选择适当的方法表示下列集合:

(1)二次函数$y=-3x^2+2x+4$的函数值组成的集合;

(2)一次函数$y=x+6$图象上所有点组成的集合.

[解析] (1)二次函数$y=-3x^2+2x+4$的函数值有无数个,用描述法表示为$\{y|y=-3x^2+2x+4\}$.

(2)一次函数$y=x+6$图象上有无数个点,用描述法表示为$\{(x,y)|y=x+6\}$.

利用描述法表示集合应该注意以下五点:

(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合$\{x\in \mathcal {R}|x<1\}$不能写成$\{x<1\}$.

(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,$\{x\in \mathcal {Z}|x=2k\}$,$k\in \mathcal {Z}$,这种表达方式就不符合要求,需将$k\in \mathcal {Z}$也写进花括号内,即$\{x\mathcal {Z}|x=2k,k \in \mathcal {Z}\}.$

(3)不能出现未被说明的字母.

(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程$x^2-2x+1=0$的实数解集可表示为$\{x\in \mathcal {R}|x^2-2x+1=0\}$,也可写成$\{x|x^2-2x+1=0\}$.

练习:试分别用列举法和描述法表示下列集合:

(1)方程$x^2-2=0$的所有实数根组成的集合;

(2)由大于$10$小于$20$的所有整数组成的集合.

解析:(1)设方程$x^2-2=0$的实数根为$x$,并且满足条件$x^2-2=0$,因此,用描述法表示为$A=\{x\in \mathcal {R}|x^2-2=0\}$.方程$x^2-2=0$有两个实数根$2,-2$,因此,用列举法表示为$A=\{2,-2\}$.

(2)设大于$10$小于$20$的整数为$x$,它满足条件$x\in \mathcal {z}$,且$10<x<20$.因此,用描述法表示为$B=\{x\in \mathcal {z}|10<x<20\}$.大于$10$小于$20$的整数有$11,12,13,14,15,16,17,18,19$,因此,用列举法表示为$B=\{11,12,13,14,15,16,17,18,19\}$.

易错警示

忽略集合元素中的互异性而出错

[典例] 含有三个元素的集合$\left \{a,\dfrac {b}{a},1\right \}$也可表示为集合$\{a^2,a+b,0\}$,求$a,b$的值.

[错解] ∵$\left \{a,\dfrac {b}{a},1\right \}$=$\{a^2,a+b,0\}$,

∴$\begin {cases}a+\dfrac ba+1=a^2+(a+b)+0\\a \cdot \dfrac ba \cdot 1=a^2 \cdot (a+b) \cdot 0\end{cases}$,

解得$\begin {cases}a=1\\b=0\end{cases}$或$\begin {cases}a=-1\\b=0\end{cases}$.

[正解] ∵$\left \{a,\dfrac {b}{a},1\right \}$=$\{a^2,a+b,0\}$,

∴$\begin {cases}a+\dfrac ba+1=a^2+(a+b)+0\\a \cdot \dfrac ba \cdot 1=a^2 \cdot (a+b) \cdot 0\end{cases}$,

解得$\begin {cases}a=1\\b=0\end{cases}$或$\begin {cases}a=-1\\b=0\end{cases}$.

由集合中元素的互异性,得$a≠1$,∴$\begin {cases}a=1\\b=0\end{cases}$.

错误原因:错解忽略了集合中元素的互异性,当$a=1$时,在一个集合中出现了两个相同的元素.

纠错心得:含有参数的集合问题,涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等,解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论.

1.下列各组集合,表示相等集合的是(  )

①$M=\{(3,2)\},N=\{(2,3)\}$;

②$M=\{3,2\},N=\{2,3\}$;

③$M=\{(1,2)\},N=\{1,2\}$.

$A.$ ①   $B.$ ② $C.$ ③ $D.$ 以上都不对

解析:①中$M$中表示点$(3,2)$,$N$中表示点$(2,3)$;②中由元素的无序性知是相等集合;③中$M$表示一个元素点$(1,2)$,$N$中表示两个元素分别为$1,2.$

2.已知集合$M=\{1,a\}$,则实数$a$满足的条件是(  )

$A.$ $a∈\mathcal {R}$ $B.$ $a∈Q$ $C.$ $a=1$ $D.$ $a≠1$

解析:由元素的互异性可知,$a≠1$.

答案:$D$

3.集合$\{x∈N|2x-5<0\}$中所有元素的和为________.

解析:由$2x-5<0$得$x<52$,

∵$x∈N$,

∴$x=0,1,2$,

∴元素之和为$3$.

答案:$3$

4.已知集合$A=\{x|x^2+px+q=0\}=\{2\}$,则$p+q=$________.

解析:由$\begin {cases}4+2p+q=0\\ p^2-4q=0 \end{cases}$,得:$\begin {cases}p=-4\\q=4\end{cases}$,

∴$p+q=0$.

答案:$0$

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