高考一轮复习新思维——集合

  • A+
所属分类:集合

1.设有限集合$A$,$card(A)=n(n∈N^*)$,则

(1)$A$的子集个数是$2^n$;

(2)$A$的真子集个数是$2^n-1$;

(3)$A$的非空子集个数是$2^n-1$;

(4)$A$的非空真子集个数是$2^n-2$.

2.(1)$(\complement_RA)\cap B=B⇔B\subseteq\complement_RA$;

(2)$A\cup B=B⇔A\subseteq B⇔A\cap B=A$;

(3)$\complement_U(A\cup B)=(\complement_UA)\cap (\complement_UB)$;

(4)$\complement_U(A\cap B)=(\complement_UA)\cup (\complement_UB)$.

3.若$p$以集合$A$的形式出现,$q$以集合$B$的形式出现,即$A=\{x|p(x)\} $,$B=\{x|q(x)\} $,则关于充分条件、必要条件又可叙述为:

(1)若$A\subseteq B$,则$p$是$q$的充分条件;

(2)若$A\subseteq B$,则$p$是$q$的必要条件;

(3)若$A=B$,则$p$是$q$的充要条件.

4.若$¬p$是$q$的必要不充分条件,则$p$是$q$的充分不必要条件;若$¬p$是$¬q$的充要条件,那么$p$是$q$的充要条件.

5.命题的否命题既否定命题的条件,又否定命题的结论;而命题的否定只否定命题的结论.

6.(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.

(2) $p$或$q$的否定:非$p$且非$q$;$p$且$q$的否定:非$p$或非$q. $

命题点:结合不等式、函数值域、定义域,求集合的交、并、补

练习:

(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合$A=\{x|x<1\}$,$B=\{x|3^x<1\}$,则(  )

A.$A\cap B=\{x|x<0\}$   B.$A\cup B=R$ C.$A\cup B=\{x|x>1\}$ D.$A\cap B=∅$

解析:集合$A=\{x|x<1\}$,$B=\{x|x<0\}$,∴$A\cap B=\{x|x<0\}$,$A\cup B=\{x|x<1\}$.故选A.

答案:A

(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合$A=\{1,2,4\}$,$B=\{x|x2-4x+m=0\}$.若$A\cap B=\{1\}$,则$B=(  ) $

A.$\{1,-3\}$         B.$\{1,0\}$        C.$\{1,3\}$         D.$\{1,5\}$

解析:因为$A\cap B=\{1\}$,所以$1∈B$,所以$1$是方程$x^2-4x+m=0$的根,所以$1-4+m=0$,$m=3$,方程为$^x2-4x+3=0$,解得$x=1$或$x=3$,所以$B=\{1,3\}$,选择C.

答案:C

(3)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合$A=\{x|x2-x-2>0\}$,则$\complement_RA=$ (  )

A.$\{x|-1<x<2\}$         B.$\{x|-1≤x≤2\}$         C.$\{x|x<-1\}\cup\{x|x>2\}$         D.$\{x|x≤-1\}\cup \{x|x≥2\}$

解析:$∵x2-x-2>0$,$∴(x-2)(x+1)>0$,$∴x>2$或$x<-1$,即$A=\{x|x>2$或$x<-1\}$.在数轴上表示出集合$A$,如图所示.

由图可得$\complement_RA=\{x|-1≤x≤2\}$.

故选B.

答案:B

(4)(2017·高考天津卷)设集合$A=\{1,2,6\}$,$B=\{2,4\}$,$C=\{1,2,3,4\}$,则$ (A\cup B)\cap C=$ (  )

A.$\{2\}$         B.$\{1,2,4\}$         C.$\{1,2,4,6\} $         D.$\{1,2,3,4,6\}$

解析:∵$A\cup B=\{1,2,6\}\cup \{2,4\}=\{1,2,4,6\}$,∴$ (A\cup B)\cap C=\{1,2,4,6\}\cap \{1,2,3,4\}=\{1,2,4\}$.故选B.

答案:B

(5)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合$A=\{(x,y)|x^2+y^2≤3,x∈Z,y∈Z\}$,则$A$中元素的个数为(  )

A.9         B.8         C.5         D.4

解析:将满足$x^2+y^2≤3$的整数$x,y$全部列举出来,即$ (-1,-1) $,$ (-1,0) $,$ (-1,1) $,$ (0,-1) $,$ (0,0) $,$ (0,1) $,$ (1,-1) $,$ (1,0) $,$ (1,1) $,共有$9$个.

故选A.

答案:A

解答集合问题的思路

先正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意义,再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解.

(1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解;

(2)若给定的集合是点集,用数形结合法求解;

(3)若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合,用$\rm{Venn}$图求解.

发表评论

:?: :razz: :sad: :evil: :!: :smile: :oops: :grin: :eek: :shock: :???: :cool: :lol: :mad: :twisted: :roll: :wink: :idea: :arrow: :neutral: :cry: :mrgreen: