复合函数的单调性详解

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所属分类:函数及其性质

已知函数$y=f(u)$和$u=g(x)$,

$u=g(x)$在区间$(a,b)$上具有单调性,当$x\in (a,b)$时,$u\in (c,d)$,且$y=f(u)$在$(c,d)$上具有单调性,则函数$y=f[g(x)]$在$(a,b)$上具有单调性.

其满足的规则是同增异减,其具体含义为:

内外函数的单调性相同(同),则复合函数为增函数(增);

内外函数的单调性相反(异),则复合函数为减函数(减).

关键:因为外函数的定义域是内函数的值域,所以判断外函数的单调性时,判断的是外函数在内函数的值域上的单调性.

【例题1】求函数$y=\log_{\frac 12}(x^2-2x-3)$的单调区间.

【分析】①很明显,此函数是由$f(u)=\log_{\frac 12}u$和$u=x^2-2x-3$复合而成的函数;

②由于$f(u)=\log_{\frac 12}u$在$u\in (0,+\infty)$上为减函数;

③因此,$u>0$,即$x^2-2x-3>0$,也就是$x>3$或$x<-1$;

④容易知道当$x\in (-\infty,-1)$时$u=x^2-2x-3$为减函数,$x\in (3,+\infty)$时,$u=x^2-2x-3$为增函数;

⑤因此,根据同增异减的性质可知$y=\log_{\frac 12}(x^2-2x-3)$的单调递增区间为$(-\infty,-1)$,单调递减区间为$(3,+\infty).$

【练习】函数$f(x)=\log_{0.5}(x+1)+\log_{0.5}(x-3)$的单调递减区间是(    )

$(A)$ $(3,+\infty)$        $(B)$ $(1,+\infty)$        $(C)$ $(-\infty,1)$        $(D)$ $(-\infty,-1)$

答案:$(A)$

【例题2】求函数$y=x^4-2x^2-3$的单调区间.

【分析】①很明显,此函数是由$f(u)=u^2-2u-3$和$u=x^2$复合而成的函数;

㈠ ②由于$f(u)=u^2-2u-3$在$u\in (-\infty,1)$上为减函数;

③因此,$u<1$,即$x^2<1$,也就是$-1<x<1$;

④容易知道当$x\in (-1,0)$时$u=x^2$为减函数,$x\in (0,1)$时,$u=x^2$为增函数;

⑤因此,根据同增异减的性质可知$y=x^4-2x^2-3$在$(-1,0)$上为增函数,在$(0,1)$上为减函数.

㈡②由于$f(u)=u^2-2u-3$在$u\in (1,+\infty)$上为增函数;

③因此,$u>1$,即$x^2>1$,也就是$x>1$或$x<-1$;

④容易知道当$x\in (-\infty,-1)$时$u=x^2$为减函数,$x\in (1,+\infty)$时,$u=x^2$为增函数;

⑤因此,根据同增异减的性质可知$y=x^4-2x^2-3$在$(1,+\infty)$上为增函数,在$(-\infty,-1)$上为减函数.

综上所述,$y=x^4-2x^2-3$的单调递增区间为$(-1,0)$和$(1,+\infty)$,单调递减区间为$(-\infty,-1)$和$(0,1).$

【练习】求函数$y={\log_4}^2x+\log_4{x^2}+2$的单调区间.

答案:在$(0,\dfrac 14]$上单调递减,在$[\dfrac 14,+\infty)$上单调递增.

注意:①外函数的定义域是内函数的值域,所以判断外函数的单调性时,判断的是外函数在内函数的值域上的单调性;②这里先取外函数的单调区间,再去取内函数对应的定义域,方便找寻分界点.

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