初步认识任意角的概念

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所属分类:三角函数

角的概念

(1)象限角:角$\alpha$的终边落在第几象限 就称$\alpha$为第几象限的角,终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.

(2)终边相同的角:两角的终边重合.

(3)与$\alpha$终边相同的角的集合为$\{\beta|\beta=k\cdot360°+\alpha,k\in \mathbb Z\}$ .

(4)各象限角的集合为Ⅰ象限:$\{\alpha|k\cdot360°<\alpha<k\cdot360°+90°,k\in \mathbb Z\}$,

Ⅱ象限:$\{\alpha|k\cdot360°+90°<\alpha<k\cdot360°+180°,k\in \mathbb Z\}$ ,

Ⅲ象限:$\{\alpha|k\cdot360°+180°<\alpha<k\cdot360°+270°,k\in \mathbb Z\} $,

Ⅳ象限:$\{\alpha|k\cdot360°-90°<\alpha<k\cdot360°,k\in \mathbb Z\} $.

1.判断下列说法是否正确(打“√”或“$\times $”).

(1)锐角是第一象限的角,反之亦然.

(2)角$\alpha=k\pi+\dfrac {\pi}{3}(k\in \mathbb Z) $是第一象限角.

(3)若$\sin\alpha=\sin\dfrac {\pi}{7}$,则$\alpha=\dfrac {\pi}{7}.$

(4) $-300°$角与$60°$角的终边相同.

(5)若$A=\{\alpha|\alpha=2k\pi$,$k\in \mathbb Z\}$,$B=\{\alpha|\alpha=4k\pi,k\in \mathbb Z\}$,则$A=B. $

答案 (1) $\times$  (2) $\times$  (3) $\times$  (4) $√$ (5) $\times$

思考题1 与$2 020°$终边相同的角是(  )

A.$40°$   B.$140°$         C.$-40°$         D.$-140°$

因为$1 125°=1 080°+45°$,所以$1 125°$是第一象限角,所以$\sin1 125°>0$;

已知角$ \alpha$是第三象限角,试判断①$\pi-\alpha$是第几象限角?②$\dfrac {\alpha}{2}$是第几象限角?③$2\alpha$是第几象限角?

【解析】 ①$∵\alpha$是第三象限角,

$∴2k\pi+\pi<\alpha<2k\pi+\dfrac {3\pi}{2}$,$k\in \mathbb Z. $

$∴-2k\pi-\dfrac {\pi}{2}<\pi-\alpha<-2k\pi$,$k\in \mathbb Z. $

$∴\pi-\alpha$是第四象限角.

②$∵k\pi+\dfrac {\pi}{2}<\dfrac {\alpha}{2}<k\pi+\dfrac {3\pi}{4}$,$k\in \mathbb Z. $

$∴\dfrac {\alpha}{2}$是第二或第四象限角.

③$∵4k\pi+2\pi<2\alpha<4k\pi+3\pi$,$k\in \mathbb Z$,

∴$2\alpha$是第一或第二象限角或$y$轴非负半轴上的角.

【答案】 ①四 ②二或四 ③$2\alpha$是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角

(2)设集合$M=\{x|x=\dfrac {k}{2}\times 180°+45°$,$k\in \mathbb Z\}$,$N=\{x|x=\dfrac {k}{4}\times 180°+45°,k\in \mathbb Z\}$,那么两集合的关系是什么?

【解析】 因为$M=\{x|x=(2k+1)\times 45°,k\in \mathbb Z\}$表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;

而集合$N=\{x|x=(k+1)\times 45°,k\in \mathbb Z\}$表示终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的角的集合,从而$M\subseteq N. $

【答案】 $M \subseteq N$

判断角所在象限的方法

(1)判断$θ$在哪个象限,只需把$θ$改写成$ θ_0+k\cdot360°$,$k\in \mathbb Z$,其中$θ_0\in [0°,360°) $即可.

(2)对$\dfrac {\alpha}{2}$判断象限问题可采用等分象限法.

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