八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(8)

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所属分类:空间几何体

类型八、锥体的内切球问题

1.题设:如图14,三棱锥$P - ABC$上正三棱锥,求其外接球的半径。

第一步:先现出内切球的截面图,$E,H$分别是两个三角形的外心;

第二步:求$DH = \dfrac{1}{3}BD$,$PO = PH - r$,$PD$是侧面$\triangle {ABP}$的高;

第三步:由$\triangle {POE}$相似于$\triangle {PDH}$,建立等式:$\dfrac{{OE}}{{DH}} = \dfrac{{PO}}{{PD}}$,解出

2.题设:如图15,四棱锥$P - ABC$上正四棱锥,求其外接球的半径

第一步:先现出内切球的截面图,$P,O,H$三点共线;

第二步:求$FH = \dfrac{1}{2}BC$,$PO = PH - r$,$PF$是侧面$\triangle {PCD}$的高;

第三步:由$\triangle {POG}$相似于$\triangle {PFH}$,建立等式:$\dfrac{{OG}}{{HF}} = \dfrac{{PO}}{{PF}}$,解出

3.题设:三棱锥$P - ABC$是任意三棱锥,求其的内切球半径

方法:等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一步:先画出四个表面的面积和整个锥体体积;

第二步:设内切球的半径为$r$,建立等式:

${V_{P - ABC}} = {V_{O - ABC}} + {V_{O - PAB}} + {V_{O - PAC}} + {V_{O - PBC}} \Rightarrow $

$\begin {align*}{V_{P - ABC}} &= \dfrac{1}{3}{S_{\triangle ABC}} \cdot r + \dfrac{1}{3}{S_{PAB}} \cdot r + \dfrac{1}{3}{S_{PAC}} \cdot r + \dfrac{1}{3}{S_{PBC}} \cdot r \\ &= \dfrac{1}{3}({S_{\triangle ABC}} + {S_{\triangle PAB}} + {S_{PAC}} + {S_{\triangle PBC}}) \cdot r \end{align*}$

第三步:解出$r = \dfrac{{3{V_{P - ABC}}}}{{{S_{O - ABC}} + {S_{O - PAB}} + {S_{O - PAC}} + {S_{O - PBC}}}}$

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