八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(7)

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所属分类:空间几何体

类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型

题设:$\angle {APB} = \angle {ACB} = {90^ \circ }$,求三棱锥$P - ABC$外接球半径.

分析:取公共的斜边的中点$O$,连接$OP,OC$,则$OA = OB = OC = OP = \dfrac{1}{2}AB$,$\therefore $$O$为三棱锥$P - ABC$外接球球心,然后在$OCP$中求出半径,当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定值。

例7(1)在矩形$ABCD$中,$AB = 4$,$BC = 3$,沿$AC$将矩形$ABCD$折成一个直二面角$B - AC - D$,则四面体$ABCD$的外接球的体积为( )

A.$\dfrac{{125}}{{12}}\pi $ B.$\dfrac{{125}}{9}\pi $ C.$\dfrac{{125}}{6}\pi $ D.$\dfrac{{125}}{3}\pi $

解:(1)$2R = AC = 5$,$R = \dfrac{5}{2}$,

$V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{{125}}{8} = \dfrac{{125\pi }}{6}$,

选$C.$

(2)在矩形$ABCD$中,$AB = 2$,$BC = 3$,沿$BD$将矩形$ABCD$折叠,连接$AC$,所得三棱锥$A - BCD$的外接球的表面积为________.

解析:(2)$BD$的中点是球心$BD$,$2R = BD = \sqrt {13} $,$S = 4\pi {R^2} = 13\pi .$

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