八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(6)

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所属分类:空间几何体

类型六、对棱相等模型(补形为长方体)

题设:三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径($AB = CD$,$AD = BC$,$AC = BD$)

第一步:画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;

第二步:设出长方体的长宽高分别为$a,b,c$,$AD = BC = x$,$AB = CD = y$,$AC = BD = z$,列方程组,

$\begin{cases}{a^2} + {b^2} = {x^2}\\{b^2} + {c^2} = {y^2}\\{c^2} + {a^2} = {z^2}\end{cases} $$ \Rightarrow $${(2R)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{2}$,

补充:${V_{A - BCD}} = abc - \dfrac{1}{6}abc \times 4 = \dfrac{1}{3}abc$

第三步:根据墙角模型,$2R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{2}} $,

${R^2} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{8}$,$R = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{8}} $,求出$R$,

例如,正四面体的外接球半径可用此法。

例、(1)棱长为$2$的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是________.

(2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为$1$的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( )

A.$\dfrac {3\sqrt {3}}{4}$ B.$\dfrac {\sqrt {3}}{3}$ C.$\dfrac {\sqrt {3}}{4}$ D.$\dfrac {\sqrt {3}}{12}$

解:(1)截面为$\triangle PC{O_1}$,面积是$\sqrt 2 $;

(2)高$h = R = 1$,底面外接圆的半径为$R = 1$,直径为$2R = 2$,

设底面边长为$a$,则$2R = \dfrac{a}{{\sin {{60}^ \circ }}} = 2$,$a = \sqrt 3 $,$S = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}$,

三棱锥的体积为$V = \dfrac{1}{3}Sh = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$

(3)在三棱锥$A - BCD$中,$AB = CD = 2,AD = BC = 3,AC = BD = 4,$则三棱锥$A - BCD$外接球的表面积为________。

解析:如图12,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为$a,b,c$,则${a^2} + {b^2} = 9$,

${b^2} + {c^2} = 4$,${c^2} + {a^2} = 16$

$2({a^2} + {b^2} + {c^2}) = 9 + 4 + 16 = 29$,

${a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{{29}}{2}$,

$4{R^2} = \dfrac{{29}}{2}$,

$S = \dfrac{{29}}{2}\pi $

(4)如图所示三棱锥$A-BCD$,其中$AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7$则该三棱锥外接球的表面积为________.

解析:同上,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为$a,b,c$,

$2({a^2} + {b^2} + {c^2}) = 25 + 36 + 49 = 110$,${a^2} + {b^2} + {c^2} = 55$,$4{R^2} = 55$,$S = 55\pi $

【$55\pi $;对称几何体;放到长方体中】

(5)正四面体的各条棱长都为$\sqrt 2 $,则该正面体外接球的体积为

解析:这是特殊情况,但也是对棱相等的模式,放入长方体中,$2R = \sqrt 3 $,

$R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$,$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{{3\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\pi $.

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